Se
, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a curva
para
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Precisamos parametrizar a curva, calcular
e
, e substituir na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva:
E
varia de 0 a
. Isso significa que nossas coordenadas
e
estão expressas em termos de
, o que facilitará a substituição na integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Antes de prosseguir, vamos simplificar o denominador
.
Passo 5
Calculando
:
Então, o denominador fica
.
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na integral:
Passo 7
Simplificando os termos no numerador:
Observamos que os termos
e
se cancelam.
Passo 8
Então, a integral fica:
Usei a identidade trigonométrica
.
Passo 9
Agora, resolvemos a integral simples:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
a) Determine o gradiente de f.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor .
5.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor
5.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
c)
c)
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
e)
e)