Se r(t)=(e^2 t cos 3 t, e^2 t sin 3 t), 0 <= t <= 2 pi, encontre
integralC x d x+y d y(x^2+y^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x, dx + y, dy(x^2+y^2)^3 / 2
sobre a curva para . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Precisamos parametrizar a curva, calcular e , e substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva:
x(t) = e^2t cos 3t y(t) = e^2t sin 3t
E varia de 0 a . Isso significa que nossas coordenadas e estão expressas em termos de , o que facilitará a substituição na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dx = ddt (e^2t cos 3t) dt = (2e^2t cos 3t - 3e^2t sin 3t) dt dy = ddt (e^2t sin 3t) dt = (2e^2t sin 3t + 3e^2t cos 3t) dt e em relação a :

Passo 4

Substituímos integral0^2pi x(t) , dx + y(t) , dy(x(t)^2 + y(t)^2)^3/2 , , e na integral original:
Antes de prosseguir, vamos simplificar o denominador .

Passo 5

Calculando x(t)^2 + y(t)^2 = (e^2t cos 3t)^2 + (e^2t sin 3t)^2 = e^4t (cos^2 3t + sin^2 3t) = e^4t :
Então, o denominador fica .

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na integral:
integral0^2pi e^2t cos 3t (2e^2t cos 3t - 3e^2t sin 3t) + e^2t sin 3t (2e^2t sin 3t + 3e^2t cos 3t)e^6t dt

Passo 7

Simplificando os termos no numerador:
= integral0^2pi 2e^4t cos^2 3t - 3e^4t cos 3t sin 3t + 2e^4t sin^2 3t + 3e^4t sin 3t cos 3te^6t dt
Observamos que os termos e se cancelam.

Passo 8

Então, a integral fica:
integral0^2pi 2e^4t (cos^2 3t + sin^2 3t)e^6t dt = integral0^2pi 2e^4t cdot 1e^6t dt = integral0^2pi 2e^-2t dt
Usei a identidade trigonométrica .

Passo 9

Agora, resolvemos a integral simples:
2 integral0^2pi e^-2t dt = 2 [ e^-2t-2 ]0^2pi = - [ e^-2t ]0^2pi = -( e^-4pi - 1 ) = 1 - e^-4pi

Resposta

A integral vale .

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