Se , encontre

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a curva para . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Precisamos parametrizar a curva, calcular e , e substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva:
E varia de 0 a . Isso significa que nossas coordenadas e estão expressas em termos de , o que facilitará a substituição na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas e em relação a :

Passo 4

Substituímos , , e na integral original:
Antes de prosseguir, vamos simplificar o denominador .

Passo 5

Calculando :
Então, o denominador fica .

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na integral:

Passo 7

Simplificando os termos no numerador:
Observamos que os termos e se cancelam.

Passo 8

Então, a integral fica:
Usei a identidade trigonométrica .

Passo 9

Agora, resolvemos a integral simples:

Resposta

A integral vale .

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a) Determine o gradiente de f.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor .
5.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
c)
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
e)