Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para explicar por que a integral é imprópria. Isso tá relacionado ao cálculo de integrais impróprias, que são aquelas que têm algum “problema” que impede de serem resolvidas de forma direta. Vamos precisar entender os tipos de integrais impróprias e aplicar isso ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma integral imprópria. Existem basicamente dois tipos:
  1. Limites infinitos: Quando os limites de integração vão até infinito ou menos infinito.
  2. Integrando com descontinuidade: Quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade (como um buraco ou uma assíntota) dentro do intervalo de integração.
Para resolver essas integrais, a gente usa limites para “aproximar” o comportamento da função nas partes problemáticas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa integral: .
Primeiro, observamos os limites de integração:
  • O limite inferior é , que já nos diz que temos um limite infinito.
  • O limite superior é , que é um número finito.
Segundo, a função que estamos integrando é . A cotangente é igual a , então ela fica indefinida quando o denominador é zero.

Passo 4

Vamos analisar onde fica indefinida:
A função será indefinida quando . Sabemos que para , onde é um número inteiro. Então, tem descontinuidades (assíntotas verticais) em , etc.

Passo 5

Voltando à nossa integral , vamos ver se alguma dessas descontinuidades está dentro do intervalo de integração.
O intervalo vai de até . Observamos que entre e , há um ponto onde é indefinida: em .

Passo 6

Então, nossa integral tem duas questões que a tornam imprópria:
  1. Limite infinito: O intervalo de integração se estende até .
  2. Descontinuidade na função: A função não está definida em , que está dentro do intervalo de integração.

Resposta

A integral é imprópria porque possui um limite de integração infinito ( ) e a função apresenta uma descontinuidade em , que está dentro do intervalo de integração.

Exercícios relacionados

Se , encontre
a) Determine o gradiente de f.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor .
5.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
e)
Determine e faça o esboço do domínio da função.
14.