a) Determine o gradiente de f.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor
.
5.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função
e um ponto específico
. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o gradiente de
.
b) Calcular o gradiente no ponto .
c) Determinar a taxa de variação de em
na direção do vetor
.
b) Calcular o gradiente no ponto
c) Determinar a taxa de variação de
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como eles nos ajudam a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ele nos dá a direção de maior crescimento da função e a magnitude nos diz o quão rápido a função está crescendo nessa direção.
Matematicamente, o gradiente é representado por:
Então, para encontrar o gradiente da nossa função
, vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da derivada de
, que é
, e tratamos
como uma constante em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Nesta parte,
é tratado como uma constante em relação a
, então a derivada de
é apenas
.
Passo 5
Então, juntando essas derivadas parciais, o gradiente de
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão do gradiente que encontramos:
Lembrando que
, pois a função logaritmo natural de 1 é sempre zero.
Passo 7
Por último, queremos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. Isso é feito calculando o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor
:
Resposta
a)
b)
c) A taxa de variação de
em
na direção de
é
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Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
c)
c)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
b)
b)
Se
, encontre
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.