a) Determine o gradiente de f.
b)Calcule o gradiente do ponto P.
c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor .
5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função e um ponto específico . Nosso objetivo é:
a) Encontrar o gradiente de .
b) Calcular o gradiente no ponto .
c) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como eles nos ajudam a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a e . Ele nos dá a direção de maior crescimento da função e a magnitude nos diz o quão rápido a função está crescendo nessa direção.
Matematicamente, o gradiente é representado por:
Então, para encontrar o gradiente da nossa função , vamos calcular as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada de , que é , e tratamos como uma constante em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Nesta parte, é tratado como uma constante em relação a , então a derivada de é apenas .

Passo 5

Então, juntando essas derivadas parciais, o gradiente de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e na expressão do gradiente que encontramos:
Lembrando que , pois a função logaritmo natural de 1 é sempre zero.

Passo 7

Por último, queremos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . Isso é feito calculando o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor :
çã

Resposta

a)
b)
c) A taxa de variação de em na direção de é

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Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
c)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
b)
Se , encontre
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.