(cos t1+i sin t1)(cos t2+i sin t2)=cos (t1+t2)+i sin (t1+t2)
Use this result to obtain the trigonometric identities
& cos (t1+t2)=cos t1 cos t2-sin t1 sin t2 & sin (t1+t2)=sin t1 cos t2+cos t1 sin t2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos:
(cos t1+i sin t1)(cos t2+i sin t2)=cos (t1+t2)+i sin (t1+t2)
A matéria aqui é sobre identidades trigonométricas usando números complexos. Para resolver, vamos precisar multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo e comparar com o lado direito para encontrar as identidades de seno e cosseno para a soma de dois ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo. Lembrando que quando multiplicamos (a + ib)(c + id), usamos a distributiva:
(cos t1 + i sin t1)(cos t2 + i sin t2) = cos t1 cos t2 + i cos t1 sin t2 + i sin t1 cos t2 + i^2 sin t1 sin t2
Sabemos que , então o último termo fica .

Passo 3

Agora, juntamos os termos reais e os termos imaginários:
cos t1 cos t2 - sin t1 sin t2 + i (cos t1 sin t2 + sin t1 cos t2)
Isso resulta em uma parte real e uma parte imaginária separadas.

Passo 4

Comparando com o lado direito da equação original:
cos (t1+t2) + i sin (t1+t2)
Podemos igualar as partes reais e as partes imaginárias correspondentes:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:

Resposta

As identidades trigonométricas para a soma de dois ângulos são:
& cos (t1+t2) = cos t1 cos t2 - sin t1 sin t2 & sin (t1+t2) = sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2

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