Use this result to obtain the trigonometric identities
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos:
A matéria aqui é sobre identidades trigonométricas usando números complexos. Para resolver, vamos precisar multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo e comparar com o lado direito para encontrar as identidades de seno e cosseno para a soma de dois ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo. Lembrando que quando multiplicamos (a + ib)(c + id), usamos a distributiva:
Sabemos que
, então o último termo fica
.
Passo 3
Agora, juntamos os termos reais e os termos imaginários:
Isso resulta em uma parte real e uma parte imaginária separadas.
Passo 4
Comparando com o lado direito da equação original:
Podemos igualar as partes reais e as partes imaginárias correspondentes:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Resposta
As identidades trigonométricas para a soma de dois ângulos são:
Exercícios relacionados
(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation of (
).
(b) Find a power series solution of (*) of the form
(b) Find a power series solution of (*) of the form
© Show that
.
(d) Show that (*) has no solution of the form
(d) Show that (*) has no solution of the form
(e) Find a second solution of (*) using the method of reduction of order. Leave your answer in integral form.
on the interval
, with
, and
. Compute
.
Hint:
.
(b) Find a particular solution of the equation
(b) Find a particular solution of the equation
is a complex-valued solution of Euler
(b) Show that
and
are real-valued solutions of (*).