Hint:
.
(b) Find a particular solution of the equation
(b) Find a particular solution of the equation
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma solução particular da equação diferencial
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. O conteúdo que vamos usar envolve métodos para resolver equações diferenciais lineares, especificamente o método das soluções particulares para termos constantes e funções trigonométricas. Precisaremos usar identidades trigonométricas para simplificar
e aplicar o método das soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Substituindo a identidade na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos separar a equação em duas partes para encontrar soluções particulares distintas:
- Para o termo constante
. - Para os termos trigonométricos
e .
Passo 5
Primeiro, encontramos a solução particular para o termo constante. Assumimos que a solução particular
é uma constante
. Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular para os termos trigonométricos. Assumimos que a solução particular
tem a forma:
Isso porque temos
e
na equação, e precisamos incluir os senos correspondentes.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 9
Simplificamos os termos:
- Coeficientes de
:
- Coeficientes de
:
- Coeficientes de
:
- Coeficientes de
:
Igualando aos termos do lado direito:
Passo 10
Igualamos os coeficientes correspondentes:
-
. -
. -
. -
.
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações para
e
:
-
, -
.
Da segunda equação:
Substituímos
na primeira equação:
Então,
Passo 12
Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é
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Use this result to obtain the trigonometric identities
(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation of (
).
(b) Find a power series solution of (*) of the form
(b) Find a power series solution of (*) of the form
© Show that
.
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(d) Show that (*) has no solution of the form
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and
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