Hint: cos(omega t) = (e^(i omega t) + e^(-i omega t)) / 2.
(b) Find a particular solution of the equation
10 y'' + 0.2 y' + 1000 y = 5 + 20 cos^3(10 t)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma solução particular da equação diferencial
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. O conteúdo que vamos usar envolve métodos para resolver equações diferenciais lineares, especificamente o método das soluções particulares para termos constantes e funções trigonométricas. Precisaremos usar identidades trigonométricas para simplificar e aplicar o método das soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Substituindo a identidade na equação original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos separar a equação em duas partes para encontrar soluções particulares distintas:
  1. Para o termo constante .
  2. Para os termos trigonométricos e .

Passo 5

Primeiro, encontramos a solução particular para o termo constante. Assumimos que a solução particular é uma constante . Substituindo na equação:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para os termos trigonométricos. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Isso porque temos e na equação, e precisamos incluir os senos correspondentes.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 9

Simplificamos os termos:
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
Igualando aos termos do lado direito:

Passo 10

Igualamos os coeficientes correspondentes:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações para e :
  1. ,
  2. .
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Então,

Passo 12

Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é

Exercícios relacionados

(cos t1+i sin t1)(cos t2+i sin t2)=cos (t1+t2)+i sin (t1+t2)
Use this result to obtain the trigonometric identities
& cos (t1+t2)=cos t1 cos t2-sin t1 sin t2 & sin (t1+t2)=sin t1 cos t2+cos t1 sin t2
t^2 y^prime prime+(t^2-3 t) y^prime+3 y=0
(a) Show that r=1 and r=3 are the two roots of the indicial equation of ( cdot ).
(b) Find a power series solution of (*) of the form
y1(t)=t^3 sumn=0^infty an t^n, a0=1
© Show that y1(t)=t^3 e^-t.
(d) Show that (*) has no solution of the form
t sumn=0^infty bn t^n
(e) Find a second solution of (*) using the method of reduction of order. Leave your answer in integral form.
t^(lambda+i mu) = t^lambda t^(i mu) = t^lambda e^(ln t mu) = t^lambda [cos(mu ln t) + i sin(mu ln t)]
is a complex-valued solution of Euler
t^2 d^2y/dt^2 + αt dy/dt + βy = 0
(b) Show that t^lambda cos(mu) ln(t) and t^lambda sen(mu) ln(t) are real-valued solutions of (*).
d^2y/dt^2 - 2t/(1+t^2) dy/dt + 2/(1+t^2) y = 1+t^2