is a complex-valued solution of Euler
(b) Show that
and
are real-valued solutions of (*).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Euler do tipo
. A parte (b) do exercício pede para mostrar que as funções
e
são soluções reais dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e números complexos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é uma solução complexa da equação de Euler dada. A gente já tem expressado essa solução como
usando a fórmula de Euler
.
Passo 3
Como a equação diferencial é linear e tem coeficientes reais, se uma solução complexa existe, então suas partes real e imaginária também são soluções reais. Ou seja,
e
devem satisfazer a equação original.
Passo 4
Vamos verificar isso substituindo
na equação de Euler. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação de Euler:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser zero. Então, temos:
Passo 7
Essas duas equações nos retornam as condições que
e
devem satisfazer. Como sabemos que
é solução, essas condições já são garantidas. Portanto,
satisfaz a equação de Euler.
Passo 8
O mesmo raciocínio vale para
. Ao substituir na equação e seguir os mesmos passos, chegamos às mesmas condições que já são verdadeiras. Assim,
também é uma solução real da equação de Euler.
Resposta
Portanto,
e
são soluções reais da equação de Euler
.
Exercícios relacionados
Hint:
.
(b) Find a particular solution of the equation
(b) Find a particular solution of the equation
Use this result to obtain the trigonometric identities
Encontre
, justificando todas as suas passagens.