t^(lambda+i mu) = t^lambda t^(i mu) = t^lambda e^(ln t mu) = t^lambda [cos(mu ln t) + i sin(mu ln t)]
is a complex-valued solution of Euler
t^2 d^2y/dt^2 + αt dy/dt + βy = 0
(b) Show that t^lambda cos(mu) ln(t) and t^lambda sen(mu) ln(t) are real-valued solutions of (*).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Euler do tipo . A parte (b) do exercício pede para mostrar que as funções e são soluções reais dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e números complexos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é uma solução complexa da equação de Euler dada. A gente já tem expressado essa solução como usando a fórmula de Euler .

Passo 3

Como a equação diferencial é linear e tem coeficientes reais, se uma solução complexa existe, então suas partes real e imaginária também são soluções reais. Ou seja, e devem satisfazer a equação original.

Passo 4

Vamos verificar isso substituindo na equação de Euler. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação de Euler:
Simplificando:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser zero. Então, temos:

Passo 7

Essas duas equações nos retornam as condições que e devem satisfazer. Como sabemos que é solução, essas condições já são garantidas. Portanto, satisfaz a equação de Euler.

Passo 8

O mesmo raciocínio vale para . Ao substituir na equação e seguir os mesmos passos, chegamos às mesmas condições que já são verdadeiras. Assim, também é uma solução real da equação de Euler.

Resposta

Portanto, e são soluções reais da equação de Euler .

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Hint: cos(omega t) = (e^(i omega t) + e^(-i omega t)) / 2.
(b) Find a particular solution of the equation
10 y'' + 0.2 y' + 1000 y = 5 + 20 cos^3(10 t)
(cos t1+i sin t1)(cos t2+i sin t2)=cos (t1+t2)+i sin (t1+t2)
Use this result to obtain the trigonometric identities
& cos (t1+t2)=cos t1 cos t2-sin t1 sin t2 & sin (t1+t2)=sin t1 cos t2+cos t1 sin t2
d^2y/dt^2 - 2t/(1+t^2) dy/dt + 2/(1+t^2) y = 1+t^2
Encontre integral2^3 2 x+3(x-1)(x+2) d x, justificando todas as suas passagens.