Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função h(x) que muda de fórmula dependendo do valor de x. O objetivo é encontrar os valores de a e b para que a função não tenha “saltos” nos pontos x = 2 e x = 3. Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita desses pontos devem ser iguais. Vamos usar o conceito de limites para garantir a continuidade da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra x = 2. Quando x se aproxima de 2 pela esquerda (x < 2), a função é dada por:
h(x) = x^2-4x-2
Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, temos:
h(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda:
limx to 2^- h(x) = 2 + 2 = 4

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela direita (2 \leq x < 3). A função é:
h(x) = a x^2 - b x + 3
O limite quando x se aproxima de 2 pela direita é simplesmente substituir x por 2:
limx to 2^+ h(x) = a (2)^2 - b (2) + 3 = 4a - 2b + 3

Passo 4

Para garantir que a função seja contínua em x = 2, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
4 = 4a - 2b + 3
Vamos simplificar essa equação:
4a - 2b + 3 = 4 4a - 2b = 1 (Equação 1) çã

Passo 5

Agora, vamos analisar x = 3. Quando x se aproxima de 3 pela esquerda (2 \leq x < 3), a função é novamente:
h(x) = a x^2 - b x + 3
O limite quando x se aproxima de 3 pela esquerda é:
limx to 3^- h(x) = a (3)^2 - b (3) + 3 = 9a - 3b + 3

Passo 6

Quando x se aproxima de 3 pela direita (x \geq 3), a função é:
h(x) = 2x - a + b
O limite quando x se aproxima de 3 pela direita é simplesmente substituir x por 3:
limx to 3^+ h(x) = 2(3) - a + b = 6 - a + b

Passo 7

Para garantir a continuidade em x = 3, igualamos os limites pela esquerda e pela direita:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b
Vamos simplificar essa equação:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b 9a + a - 3b - b = 6 - 3 10a - 4b = 3 (Equação 2) çã

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. 4a - 2b = 1
  2. 10a - 4b = 3
Podemos resolver esse sistema. Vamos simplificar a Equação 2 dividindo tudo por 2:
5a - 2b = 1.5
Agora, temos:
  1. 4a - 2b = 1
  2. 5a - 2b = 1.5
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(5a - 2b) - (4a - 2b) = 1.5 - 1 a = 0.5

Passo 9

Agora que sabemos que a = 0.5, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar b:
4(0.5) - 2b = 1 2 - 2b = 1 -2b = -1 b = 0.5

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são:
a = 12 e b = 12

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