Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, e pra resolver a gente vai usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral no expoente:
Como o fator integrante pode ignorar a constante de integração, temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.