Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + 3y * sen(x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, e pra resolver a gente vai usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral no expoente:
Como o fator integrante pode ignorar a constante de integração, temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Sejam c0, c1, ..., cn constantes reais tais que
c0 + c1/2 + ... + c(n-1)/n + cn/(n+1) = 0
Prove que a equação c0 + c1 x + c2 x^2 + ... + cn x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .
Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)
Encuentra en cada caso la solución
d y/d x = 3 y
Seja f: R -> R contínua em x0 = 0 e satisfaz a condição
f(x+y) = f(x) + f(y), para todo x em R
Mostre que f é contínua em R.