Sejam
constantes reais tais que
Prove que a equação
tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um polinômio do tipo
e uma condição envolvendo essas constantes
. O conteúdo aqui está relacionado a polinômios e suas raízes. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinado intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor do polinômio nos extremos do intervalo que nos interessa, ou seja, em
e
.
Quando
:
Quando
:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Podemos interpretar essa soma como uma integral do polinômio
entre 0 e 1:
Isso sugere que a área sob a curva do polinômio entre 0 e 1 é zero, o que indica que o polinômio deve cruzar o eixo x nesse intervalo.
Passo 4
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde
. Nosso polinômio é contínuo, e sabemos que a integral sendo zero implica que
deve mudar de sinal entre 0 e 1.
Resposta
Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.