Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um polinômio do tipo e uma condição envolvendo essas constantes . O conteúdo aqui está relacionado a polinômios e suas raízes. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinado intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor do polinômio nos extremos do intervalo que nos interessa, ou seja, em e .
Quando :
Quando :
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Podemos interpretar essa soma como uma integral do polinômio entre 0 e 1:
Isso sugere que a área sob a curva do polinômio entre 0 e 1 é zero, o que indica que o polinômio deve cruzar o eixo x nesse intervalo.
Passo 4
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde . Nosso polinômio é contínuo, e sabemos que a integral sendo zero implica que deve mudar de sinal entre 0 e 1.
Resposta
Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.