Sejam c0, c1, ..., cn constantes reais tais que
c0 + c1/2 + ... + c(n-1)/n + cn/(n+1) = 0
Prove que a equação c0 + c1 x + c2 x^2 + ... + cn x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um polinômio do tipo e uma condição envolvendo essas constantes . O conteúdo aqui está relacionado a polinômios e suas raízes. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinado intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor do polinômio nos extremos do intervalo que nos interessa, ou seja, em e .
Quando :
Quando :

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Podemos interpretar essa soma como uma integral do polinômio entre 0 e 1:
Isso sugere que a área sob a curva do polinômio entre 0 e 1 é zero, o que indica que o polinômio deve cruzar o eixo x nesse intervalo.

Passo 4

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde . Nosso polinômio é contínuo, e sabemos que a integral sendo zero implica que deve mudar de sinal entre 0 e 1.

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.

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