Sejam c0, c1, ..., cn constantes reais tais que
c0 + c1/2 + ... + c(n-1)/n + cn/(n+1) = 0
Prove que a equação c0 + c1 x + c2 x^2 + ... + cn x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um polinômio do tipo e uma condição envolvendo essas constantes . O conteúdo aqui está relacionado a polinômios e suas raízes. Para resolver esse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinado intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor do polinômio nos extremos do intervalo que nos interessa, ou seja, em e .
Quando :
Quando :

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada no enunciado:
Podemos interpretar essa soma como uma integral do polinômio entre 0 e 1:
Isso sugere que a área sob a curva do polinômio entre 0 e 1 é zero, o que indica que o polinômio deve cruzar o eixo x nesse intervalo.

Passo 4

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde . Nosso polinômio é contínuo, e sabemos que a integral sendo zero implica que deve mudar de sinal entre 0 e 1.

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz real no intervalo entre 0 e 1.

Exercícios relacionados

Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)
Seja f: I -> R uma função. Diz-se que f é uma função lipschitziana se existir um K > 0 tal que para todo x, y in I implicar |f(x) - f(y)| <= K |x - y|. Mostre que toda função lipschitziana é contínua.
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' + 3y * sen(x) = 0
Encuentra en cada caso la solución
d y/d x = 3 y