Seja
uma função. Diz-se que
é uma função lipschitziana se existir um
tal que para todo
implicar
. Mostre que toda função lipschitziana é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções lipschitzianas. Basicamente, uma função
é lipschitziana se existe um número positivo
tal que, para quaisquer dois pontos
e
no intervalo
, a diferença nos valores da função é limitada por
vezes a diferença entre
e
. O objetivo é mostrar que toda função que satisfaz essa condição também é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se, conforme
se aproxima de
,
se aproxima de
. De forma mais formal, para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade lipschitziana para provar a continuidade. Sabemos que existe um
tal que:
Queremos mostrar que, para qualquer
, podemos encontrar um
adequado. Vamos escolher
. Assim, se
, então:
Isso satisfaz a definição de continuidade.
Passo 4
Como demonstramos que, para qualquer
, existe um
tal que
sempre que
, concluímos que
é contínua em todo ponto
de
.
Resposta
Toda função lipschitziana é contínua.