Seja uma função. Diz-se que é uma função lipschitziana se existir um tal que para todo implicar . Mostre que toda função lipschitziana é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções lipschitzianas. Basicamente, uma função é lipschitziana se existe um número positivo tal que, para quaisquer dois pontos e no intervalo , a diferença nos valores da função é limitada por vezes a diferença entre e . O objetivo é mostrar que toda função que satisfaz essa condição também é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se, conforme se aproxima de , se aproxima de . De forma mais formal, para todo , existe um tal que, se , então .
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade lipschitziana para provar a continuidade. Sabemos que existe um tal que:
Queremos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um adequado. Vamos escolher . Assim, se , então:
Isso satisfaz a definição de continuidade.
Passo 4
Como demonstramos que, para qualquer , existe um tal que sempre que , concluímos que é contínua em todo ponto de .