Seja f: I -> R uma função. Diz-se que f é uma função lipschitziana se existir um K > 0 tal que para todo x, y in I implicar |f(x) - f(y)| <= K |x - y|. Mostre que toda função lipschitziana é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções lipschitzianas. Basicamente, uma função é lipschitziana se existe um número positivo tal que, para quaisquer dois pontos e no intervalo , a diferença nos valores da função é limitada por vezes a diferença entre e . O objetivo é mostrar que toda função que satisfaz essa condição também é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se, conforme se aproxima de , se aproxima de . De forma mais formal, para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade lipschitziana para provar a continuidade. Sabemos que existe um tal que:
Queremos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um adequado. Vamos escolher . Assim, se , então:
Isso satisfaz a definição de continuidade.

Passo 4

Como demonstramos que, para qualquer , existe um tal que sempre que , concluímos que é contínua em todo ponto de .

Resposta

Toda função lipschitziana é contínua.

Exercícios relacionados

Seja f: R -> R, onde f(x) = x^2. Mostre que f é contínua em R.
Calcule os limites: lim x 3(1+x3)^1x-3
Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)
Sejam c0, c1, ..., cn constantes reais tais que
c0 + c1/2 + ... + c(n-1)/n + cn/(n+1) = 0
Prove que a equação c0 + c1 x + c2 x^2 + ... + cn x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1 .