Dado um número real
, considere a matriz
.
(a) Calcule
.
(b) * Dados
e
em
, mostre que
.
© Calcule
.
(d) * Mostre que, para todo número
, a matriz
é ortogonal.
(a) Calcule
(b) * Dados
© Calcule
(d) * Mostre que, para todo número
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz
definida por:
Esse tipo de matriz é uma matriz de rotação, que gira um ponto no plano em um ângulo
. Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar entender como calcular com funções trigonométricas e propriedades de matrizes, como multiplicação e ortogonalidade.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Vamos substituir
por
na matriz
:
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
Vamos multiplicar as duas matrizes
e
:
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Agora, usando as fórmulas de soma de ângulos na trigonometria:
Substituindo:
Ou seja,
Passo 4
Parte ©: Calcular
Vamos substituir
por
na matriz
:
Sabemos que:
-
(a função cosseno é par) - (a função seno é ímpar)
Substituindo:
Passo 5
Parte (d): Mostrar que
é ortogonal para todo
Uma matriz é ortogonal se seu produto pela sua transposta for a matriz identidade, ou seja,
.
Vamos calcular a transposta de
:
Agora, multiplicamos
por
:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Porque e .
Então,
é uma matriz ortogonal para todo
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d) A matriz é ortogonal para todo
.
(b)
©
(d) A matriz