Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz definida por:
Esse tipo de matriz é uma matriz de rotação, que gira um ponto no plano em um ângulo . Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar entender como calcular com funções trigonométricas e propriedades de matrizes, como multiplicação e ortogonalidade.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Vamos substituir por na matriz :
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
Vamos multiplicar as duas matrizes e :
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Agora, usando as fórmulas de soma de ângulos na trigonometria: