Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=[cccos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha].
(a) Calcule Tpi2.
(b) * Dados alpha e beta em R, mostre que Talpha cdot Tbeta=Talpha+beta.
© Calcule T-alpha.
(d) * Mostre que, para todo número alpha, a matriz Talpha é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz Talpha definida por:
Esse tipo de matriz é uma matriz de rotação, que gira um ponto no plano em um ângulo Talpha = cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha . Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar entender como calcular com funções trigonométricas e propriedades de matrizes, como multiplicação e ortogonalidade.

Passo 2

Parte (a): Calcular Tpi2
Vamos substituir alpha por pi2 na matriz Talpha:
Sabemos que:
  • Tpi2 = cos pi2 & -sen pi2 sen pi2 & cos pi2
Então:
cos pi2 = 0

Passo 3

Parte (b): Mostrar que Talpha cdot Tbeta = Talpha+beta
Vamos multiplicar as duas matrizes Talpha e Tbeta:
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Agora, usando as fórmulas de soma de ângulos na trigonometria:
Substituindo:
Ou seja,
Talpha cdot Tbeta = cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha cos beta & -sen beta sen beta & cos beta

Passo 4

Parte ©: Calcular T-alpha
Vamos substituir alpha por -alpha na matriz Talpha:
Sabemos que:
  • T-alpha = cos (-alpha) & -sen (-alpha) sen (-alpha) & cos (-alpha) (a função cosseno é par)
  • (a função seno é ímpar)
Substituindo:

Passo 5

Parte (d): Mostrar que Talpha é ortogonal para todo alpha
Uma matriz é ortogonal se seu produto pela sua transposta for a matriz identidade, ou seja, Talpha cdot Talpha^top = I.
Vamos calcular a transposta de Talpha:
Agora, multiplicamos Talpha^top = cos alpha & sen alpha -sen alpha & cos alpha por Talpha:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Talpha^top
Porque e .
Então, Talpha cdot Talpha^top = cos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha cos alpha & sen alpha -sen alpha & cos alpha é uma matriz ortogonal para todo = cos^2 alpha + sen^2 alpha & cos alpha sen alpha - sen alpha cos alpha sen alpha cos alpha - cos alpha sen alpha & sen^2 alpha + cos^2 alpha .

Resposta

(a) Tpi2 = 0 & -1 1 & 0
(b) Talpha cdot Tbeta = Talpha+beta
©
(d) A matriz T-alpha = cos alpha & sen alpha -sen alpha & cos alpha é ortogonal para todo Talpha.

Exercícios relacionados

Verifique para os vetores v=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as seguintes desigualdades:
(a) |u cdot v| <=|u| cdot|v| (Desigualdade de Schwarz)
(b) |u+v| <=|u|+|v| (Desigualdade Triangular)
  • Couridere a Tranffor macas linear:
& T: R^3 longrightarrow R^4 &(x, y, z) longmapsto T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,
Rescrevends $T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z ; Determine o núcles e a Imagem desta Trainforma yas: Chual é a dimensás do núdeo ea dimensás da unagen de T?
Resolva e classifique os sistemas abaixo
2 x1+2 x2+2 x3 & =0 -2 x1+5 x2+2 x3 & =1 8 x1+x2+4 x3 & =-1
Seja B=(3,-1),(1,-2) e C=(3,2),(2,2). Determine as matrizes de mudança PC B e PB C e calcule vC, sendo vB=(4,3) :