Verifique para os vetores
e
as seguintes desigualdades:
(a)
(Desigualdade de Schwarz)
(b)
(Desigualdade Triangular)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e precisamos verificar duas desigualdades: a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular. Para isso, vamos precisar calcular o produto escalar, as magnitudes dos vetores e a soma dos vetores. Vou te explicar cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a Desigualdade de Schwarz, que diz que
. Isso basicamente nos diz que o valor absoluto do produto escalar dos vetores é menor ou igual ao produto das suas magnitudes. Vamos calcular cada parte:
-
Produto Escalar (
): Então,. -
Magnitude de
( ): -
Magnitude de
( ): -
Produto das Magnitudes:
Agora, comparando os valores:
Então, a Desigualdade de Schwarz é válida para esses vetores.
Passo 3
Agora, vamos verificar a Desigualdade Triangular, que afirma que
. Essa desigualdade nos mostra que a magnitude da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das magnitudes individualmente. Vamos calcular:
-
Soma dos Vetores (
): -
Magnitude da Soma (
): -
Somando as Magnitudes Individuais:
Agora, comparando:
Portanto, a Desigualdade Triangular também é válida para esses vetores.
Resposta
Ambas as desigualdades, a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular, são verdadeiras para os vetores
e
.