Verifique para os vetores v=(4,-1,2) e v=(-3,2,-2) as seguintes desigualdades:
(a) |u cdot v| <=|u| cdot|v| (Desigualdade de Schwarz)
(b) |u+v| <=|u|+|v| (Desigualdade Triangular)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , e precisamos verificar duas desigualdades: a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular. Para isso, vamos precisar calcular o produto escalar, as magnitudes dos vetores e a soma dos vetores. Vou te explicar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a Desigualdade de Schwarz, que diz que u cdot v = (4)(-3) + (-1)(2) + (2)(-2) = -12 - 2 - 4 = -18 . Isso basicamente nos diz que o valor absoluto do produto escalar dos vetores é menor ou igual ao produto das suas magnitudes. Vamos calcular cada parte:
  1. Produto Escalar ( |u| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 approx 4,583 ):
    |v| = raiz(-3)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17 approx 4,123
    Então, |u| cdot |v| approx 4,583 times 4,123 approx 18,902 .
  2. Magnitude de 18 <= 18,902 ( ):
  3. Magnitude de ( ):
  4. Produto das Magnitudes:
Agora, comparando os valores:
Então, a Desigualdade de Schwarz é válida para esses vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar a Desigualdade Triangular, que afirma que u + v = (4 + (-3), -1 + 2, 2 + (-2)) = (1, 1, 0) . Essa desigualdade nos mostra que a magnitude da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das magnitudes individualmente. Vamos calcular:
  1. Soma dos Vetores ( |u + v| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 approx 1,414 ):
    |u| + |v| approx 4,583 + 4,123 approx 8,706
  2. Magnitude da Soma ( 1,414 <= 8,706 ):
  3. Somando as Magnitudes Individuais:
Agora, comparando:
Portanto, a Desigualdade Triangular também é válida para esses vetores.

Resposta

Ambas as desigualdades, a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular, são verdadeiras para os vetores e .

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