Na mecânica newtoniana, a relação é válida, onde é a energia total de uma partícula que se desloca com velocidade instantânea e está sob a ação de uma força efetiva . Mostre que esta relação também é válida em mecânica relativística. (Dica: lembre-se que .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, na mecânica relativística, a relação também é válida, assim como na mecânica newtoniana. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia e força na relatividade, além de usar o conceito de momento () e como ele se relaciona com a energia ().
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica relativística, a energia total de uma partícula é dada por:
onde , é a massa da partícula, e é a velocidade da luz. Essa fórmula mostra como a energia depende da velocidade da partícula.
Passo 3
Agora, sabemos que o momento () na relatividade é dado por:
Isso nos ajuda a relacionar a velocidade com o momento, essencial para conectar a força com a energia.
Passo 4
A força () é definida como a derivada do momento em relação ao tempo:
Vamos usar essa definição para encontrar uma expressão para .
Passo 5
Vamos derivar a expressão da energia em relação ao tempo:
Precisamos encontrar .
Passo 6
Calculando :
Aqui, usamos o fato de que , a aceleração.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para d Ed t = m c^2 cdot gamma^3c^2 v cdot a = gamma^3 m v cdot a :
Sabemos que para movimentos em linha reta, então podemos substituir por .
Passo 8
Assim, temos:
d Ed t = F cdot v
Isso mostra que, na mecânica relativística, a taxa de variação da energia é igual ao produto escalar da força pela velocidade, assim como na mecânica newtoniana.
Resposta
Portanto, mostramos que é válida tanto na mecânica newtoniana quanto na mecânica relativística.