Na mecânica newtoniana, a relação d E / d t=F cdot v é válida, onde E é a energia total de uma partícula que se desloca com velocidade instantânea v e está sob a ação de uma força efetiva F. Mostre que esta relação também é válida em mecânica relativística. (Dica: lembre-se que p^2=p cdot p.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, na mecânica relativística, a relação também é válida, assim como na mecânica newtoniana. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia e força na relatividade, além de usar o conceito de momento ( ) e como ele se relaciona com a energia ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na mecânica relativística, a energia total de uma partícula é dada por:
E = gamma m c^2
onde , é a massa da partícula, e é a velocidade da luz. Essa fórmula mostra como a energia depende da velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, sabemos que o momento ( p = gamma m v ) na relatividade é dado por:
Isso nos ajuda a relacionar a velocidade com o momento, essencial para conectar a força com a energia.

Passo 4

A força ( F = d pd t ) é definida como a derivada do momento em relação ao tempo:
Vamos usar essa definição para encontrar uma expressão para .

Passo 5

Vamos derivar a expressão da energia em relação ao tempo:
d Ed t = dd t (gamma m c^2) = m c^2 d gammad t
Precisamos encontrar .

Passo 6

Calculando d gammad t = dd t ( 1raiz1 - v^2c^2 ) = gamma^3c^2 v cdot d vd t :
Aqui, usamos o fato de que , a aceleração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para d Ed t = m c^2 cdot gamma^3c^2 v cdot a = gamma^3 m v cdot a :
Sabemos que para movimentos em linha reta, então podemos substituir por .

Passo 8

Assim, temos:
d Ed t = F cdot v
Isso mostra que, na mecânica relativística, a taxa de variação da energia é igual ao produto escalar da força pela velocidade, assim como na mecânica newtoniana.

Resposta

Portanto, mostramos que é válida tanto na mecânica newtoniana quanto na mecânica relativística.

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