Equivalência massa-energia. Considere uma colisão perfeitamente inelástica em que uma partícula de massa de repouso m10 e energia cinética relativística K1 gruda numa segunda partícula de massa de repouso m20 e energia cinética K2. Impondo a conservação da energia total relativística, mostre que a perda de energia na colisão implica em um aumento da massa de repouso do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equivalência massa-energia! A gente tem uma colisão perfeitamente inelástica onde duas partículas se juntam após a colisão. A primeira tem massa de repouso e energia cinética relativística , e a segunda tem massa de repouso e energia cinética . Vamos usar o conceito de conservação da energia total na teoria da relatividade para mostrar que, nessa colisão, a perda de energia resulta num aumento da massa de repouso do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na teoria da relatividade, a energia total de uma partícula é dada por:
E = gamma m c^2
onde K = E - m c^2 = (gamma - 1) m c^2 é o fator de Lorentz, é a massa de repouso, é a velocidade, e é a velocidade da luz. A energia cinética relativística é então:

Passo 3

Vamos calcular a energia total antes da colisão. Temos duas partículas, então a energia total inicial Einicial = E1 + E2 = (gamma1 m10 c^2) + (gamma2 m20 c^2) é a soma das energias das duas partículas:

Passo 4

Após a colisão perfeitamente inelástica, as duas partículas ficam juntas formando um único sistema com massa de repouso Efinal = gamma' M c^2 e possivelmente movendo-se com uma nova velocidade. A energia total final será:
onde é o fator de Lorentz do sistema após a colisão.

Passo 5

Como a colisão é perfeitamente inelástica, há perda de energia cinética. Isso significa que parte da energia cinética inicial não está mais presente como movimento após a colisão, mas essa energia não desaparece; ela se converte em massa de repouso adicional do sistema. Ou seja:
Einicial = Efinal + De
onde é a energia perdida na forma de aumento da massa de repouso.

Passo 6

Vamos expressar a conservação da energia total:
(gamma1 m10 c^2) + (gamma2 m20 c^2) = gamma' M c^2
A perda de energia De é então:

Passo 7

Podemos interpretar essa perda de energia como um aumento na massa de repouso do sistema. Usando a equivalência massa-energia De, temos:
Isso mostra que a massa de repouso do sistema após a colisão é maior que a soma das massas de repouso individuais e , devido à energia perdida na colisão.

Resposta

Portanto, a perda de energia na colisão perfeitamente inelástica resulta em um aumento da massa de repouso do sistema, conforme demonstrado pela equação:
De

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