Equivalência massa-energia. Considere uma colisão perfeitamente inelástica em que uma partícula de massa de repouso
e energia cinética relativística
gruda numa segunda partícula de massa de repouso
e energia cinética
. Impondo a conservação da energia total relativística, mostre que a perda de energia na colisão implica em um aumento da massa de repouso do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equivalência massa-energia! A gente tem uma colisão perfeitamente inelástica onde duas partículas se juntam após a colisão. A primeira tem massa de repouso
e energia cinética relativística
, e a segunda tem massa de repouso
e energia cinética
. Vamos usar o conceito de conservação da energia total na teoria da relatividade para mostrar que, nessa colisão, a perda de energia resulta num aumento da massa de repouso do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na teoria da relatividade, a energia total de uma partícula é dada por:
onde
é o fator de Lorentz,
é a massa de repouso,
é a velocidade, e
é a velocidade da luz. A energia cinética relativística
é então:
Passo 3
Vamos calcular a energia total antes da colisão. Temos duas partículas, então a energia total inicial
é a soma das energias das duas partículas:
Passo 4
Após a colisão perfeitamente inelástica, as duas partículas ficam juntas formando um único sistema com massa de repouso
e possivelmente movendo-se com uma nova velocidade. A energia total final
será:
onde
é o fator de Lorentz do sistema após a colisão.
Passo 5
Como a colisão é perfeitamente inelástica, há perda de energia cinética. Isso significa que parte da energia cinética inicial não está mais presente como movimento após a colisão, mas essa energia não desaparece; ela se converte em massa de repouso adicional do sistema. Ou seja:
onde
é a energia perdida na forma de aumento da massa de repouso.
Passo 6
Vamos expressar a conservação da energia total:
A perda de energia
é então:
Passo 7
Podemos interpretar essa perda de energia como um aumento na massa de repouso do sistema. Usando a equivalência massa-energia
, temos:
Isso mostra que a massa de repouso
do sistema após a colisão é maior que a soma das massas de repouso individuais
e
, devido à energia perdida na colisão.
Resposta
Portanto, a perda de energia na colisão perfeitamente inelástica resulta em um aumento da massa de repouso do sistema, conforme demonstrado pela equação:
Exercícios relacionados
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é válida, onde
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e está sob a ação de uma força efetiva
. Mostre que esta relação também é válida em mecânica relativística. (Dica: lembre-se que
.)
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provido de coordenadas
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com velocidade
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, onde
. Qual o significado fisico deste resultado?
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desloca-se com velocidade
no sentido positivo dos
de um sistema de referência inercial
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e
, onde
. A sua energia relativística total é
. Num sistema
que desloca-se no sentido positivo do eixo
com uma velocidade
constante, sendo
, as componentes do momentum relativístico da partícula são dadas por
e
, enquanto que a energia relativística total é
. Utilize as T.L. das velocidades para determinar
e então mostre que
. Em seguida substitua estes resultados para
e
no lado direito das expressões de
para mostrar que
Defina quadrivetores
e
. Utilizando uma representação matricial em que esses vetores podem ser escritos como matrizes colunas, obtenha matrizes de transformação
, com
, tais que
x e
. Observe que
, sendo este o fato que motiva a descrição relativística do espaço-tempo e do momentum-energia em termos de quadrivetores.