Equivalência massa-energia. Considere uma colisão perfeitamente inelástica em que uma partícula de massa de repouso
e energia cinética relativística
gruda numa segunda partícula de massa de repouso
e energia cinética
. Impondo a conservação da energia total relativística, mostre que a perda de energia na colisão implica em um aumento da massa de repouso do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equivalência massa-energia! A gente tem uma colisão perfeitamente inelástica onde duas partículas se juntam após a colisão. A primeira tem massa de repouso
e energia cinética relativística
, e a segunda tem massa de repouso
e energia cinética
. Vamos usar o conceito de conservação da energia total na teoria da relatividade para mostrar que, nessa colisão, a perda de energia resulta num aumento da massa de repouso do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na teoria da relatividade, a energia total de uma partícula é dada por:
onde
é o fator de Lorentz,
é a massa de repouso,
é a velocidade, e
é a velocidade da luz. A energia cinética relativística
é então:
Passo 3
Vamos calcular a energia total antes da colisão. Temos duas partículas, então a energia total inicial
é a soma das energias das duas partículas:
Passo 4
Após a colisão perfeitamente inelástica, as duas partículas ficam juntas formando um único sistema com massa de repouso
e possivelmente movendo-se com uma nova velocidade. A energia total final
será:
onde
é o fator de Lorentz do sistema após a colisão.
Passo 5
Como a colisão é perfeitamente inelástica, há perda de energia cinética. Isso significa que parte da energia cinética inicial não está mais presente como movimento após a colisão, mas essa energia não desaparece; ela se converte em massa de repouso adicional do sistema. Ou seja:
onde
é a energia perdida na forma de aumento da massa de repouso.
Passo 6
Vamos expressar a conservação da energia total:
A perda de energia
é então:
Passo 7
Podemos interpretar essa perda de energia como um aumento na massa de repouso do sistema. Usando a equivalência massa-energia
, temos:
Isso mostra que a massa de repouso
do sistema após a colisão é maior que a soma das massas de repouso individuais
e
, devido à energia perdida na colisão.
Resposta
Portanto, a perda de energia na colisão perfeitamente inelástica resulta em um aumento da massa de repouso do sistema, conforme demonstrado pela equação: