Covariância da equação de onda da luz. A equação de onda para um feixe de luz que se propaga na direção
pode ser escrita na forma
, onde
representa componentes dos campos elétrico e magnético. Esta é a descrição para um observador num sistema inercial
provido de coordenadas
. Utilizando as transformações de Lorentz, mostre que a equação de onda na perspectiva de um observador em um sistema de referência
que se move em relação a
com velocidade
se escreve
, onde
. Qual o significado fisico deste resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a equação de onda da luz mantém a mesma forma quando mudamos de um sistema de referência inercial
para outro
que está se movendo em relação a
com velocidade
. Isso envolve conhecimentos de equações de onda, transformações de Lorentz e relatividade especial. Para resolver, vamos aplicar as transformações de Lorentz na equação de onda original e verificar se ela mantém sua forma no novo sistema de referência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de onda dada no sistema
:
Aqui,
representa componentes dos campos elétrico e magnético, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, precisamos aplicar as transformações de Lorentz para mudar de coordenadas
no sistema
para
no sistema
. As transformações de Lorentz são dadas por:
Onde
é o fator de Lorentz.
Passo 4
Com essas transformações, queremos expressar as derivadas parciais em termos de
e
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas necessárias para a equação de onda:
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação de onda original:
Passo 7
Simplificando ambos os lados da equação dividindo por
e rearranjando os termos:
Passo 8
Observando os termos, vemos que alguns se cancelam:
- O termo
aparece dos dois lados. - Rearranjando os termos restantes:
Passo 9
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
Então, mostramos que a equação de onda mantém a mesma forma no sistema
, isto é:
Isso significa que a forma da equação de onda é covariante sob transformações de Lorentz, ou seja, ela é válida em todos os sistemas de referência inerciais. Fisicamente, esse resultado confirma que a velocidade da luz
é a mesma para todos os observadores, independentemente do movimento relativo entre eles, um dos princípios fundamentais da teoria da relatividade especial.