Utilizando as transformações de Lorentz (em particular a contração de Fitzgerald-Lorentz) discuta o que ocorre com a área de um quadrado e o volume de um cubo, ambos com arestas de comprimento próprio
quando estes objetos se movem em direções paralelas a uma de suas arestas.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um quadrado e um cubo, cada um com arestas de comprimento próprio
. Queremos analisar como a área do quadrado e o volume do cubo são afetados quando esses objetos se movem numa direção paralela a uma de suas arestas, utilizando as transformações de Lorentz, especificamente a contração de Fitzgerald-Lorentz. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de contração de Lorentz e como ela afeta dimensões de objetos em movimento relativístico.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é a contração de Lorentz. De acordo com a teoria da relatividade especial, quando um objeto se move a uma velocidade
em relação a um observador, sua dimensão na direção do movimento é contraída. A fórmula para essa contração é:
onde:
-
é o comprimento contraído, -
é o comprimento próprio (comprimento no referencial do objeto), -
é a velocidade do objeto, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos aplicar esse conceito a um quadrado que se move numa direção paralela a uma de suas arestas. Suponha que a aresta paralela ao movimento seja a direção
. As outras duas arestas, nas direções
e
, não sofrem contração porque o movimento não está nessas direções.
Então, o comprimento na direção
será:
As outras duas arestas permanecem com comprimento:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do quadrado antes e depois da contração. Inicialmente, a área própria
do quadrado é:
Após a contração na direção
, a nova área
será:
Passo 5
Passando para o cubo, que também possui arestas de comprimento próprio
. Se o cubo se move numa direção paralela a uma de suas arestas, digamos a direção
, apenas essa aresta sofre contração. As outras duas direções
e
permanecem inalteradas.
Então, os comprimentos após a contração serão:
Passo 6
Vamos calcular o volume do cubo antes e depois da contração. O volume próprio
do cubo é:
Após a contração na direção
, o novo volume
será:
Resposta
Quando um quadrado e um cubo com arestas de comprimento próprio
se movem numa direção paralela a uma de suas arestas com velocidade
, a área do quadrado passa a ser
e o volume do cubo passa a ser
. Ou seja, tanto a área quanto o volume diminuem devido à contração de Lorentz na direção do movimento.
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, onde
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, onde
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