Utilizando as transformações de Lorentz (em particular a contração de Fitzgerald-Lorentz) discuta o que ocorre com a área de um quadrado e o volume de um cubo, ambos com arestas de comprimento próprio quando estes objetos se movem em direções paralelas a uma de suas arestas.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um quadrado e um cubo, cada um com arestas de comprimento próprio . Queremos analisar como a área do quadrado e o volume do cubo são afetados quando esses objetos se movem numa direção paralela a uma de suas arestas, utilizando as transformações de Lorentz, especificamente a contração de Fitzgerald-Lorentz. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de contração de Lorentz e como ela afeta dimensões de objetos em movimento relativístico.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a contração de Lorentz. De acordo com a teoria da relatividade especial, quando um objeto se move a uma velocidade em relação a um observador, sua dimensão na direção do movimento é contraída. A fórmula para essa contração é:
onde:
  • é o comprimento contraído,
  • é o comprimento próprio (comprimento no referencial do objeto),
  • é a velocidade do objeto,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos aplicar esse conceito a um quadrado que se move numa direção paralela a uma de suas arestas. Suponha que a aresta paralela ao movimento seja a direção . As outras duas arestas, nas direções e , não sofrem contração porque o movimento não está nessas direções.
Então, o comprimento na direção será:
As outras duas arestas permanecem com comprimento:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do quadrado antes e depois da contração. Inicialmente, a área própria do quadrado é:
Após a contração na direção , a nova área será:

Passo 5

Passando para o cubo, que também possui arestas de comprimento próprio . Se o cubo se move numa direção paralela a uma de suas arestas, digamos a direção , apenas essa aresta sofre contração. As outras duas direções e permanecem inalteradas.
Então, os comprimentos após a contração serão:

Passo 6

Vamos calcular o volume do cubo antes e depois da contração. O volume próprio do cubo é:
Após a contração na direção , o novo volume será:

Resposta

Quando um quadrado e um cubo com arestas de comprimento próprio se movem numa direção paralela a uma de suas arestas com velocidade , a área do quadrado passa a ser e o volume do cubo passa a ser . Ou seja, tanto a área quanto o volume diminuem devido à contração de Lorentz na direção do movimento.

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