A nave espacial Enterprise ( E ) é alcançada pelo novo modelo, nave espacial Enterprise-linha ( E^prime ), com E^prime passando por E a uma velocidade relativa |V|=c / 2. O capitão de E saúda o capitão de E^prime piscando as luzes da proa e da popa, simultaneamente do ponto de vista de E. Quando medida por E, a distância entre as luzes é de 100 m . Qual a diferença entre os tempos de emissão dos sinais das luzes, quando medidos por E^prime ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas naves espaciais: a Enterprise ( E) e a nova Enterprise-linha ( E^prime). A E^prime está se aproximando da E com uma velocidade relativa de |V| = c/2, onde c é a velocidade da luz. O capitão da E envia um sinal piscando as luzes da proa e da popa simultaneamente do ponto de vista de E. A distância entre as luzes medida por E é de 100 metros. Queremos descobrir qual é a diferença entre os tempos de emissão desses sinais quando medida pela E^prime.
Vamos utilizar os conceitos de Relatividade Especial, especificamente o princípio da simultaneidade relativa, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que os sinais foram emitidos simultaneamente no referencial de E. Isso quer dizer que, para E, os eventos de piscar a proa e a popa aconteceram ao mesmo tempo, ou seja, De.

Passo 3

Agora, vamos considerar o referencial de E^prime. De acordo com a Relatividade Especial, eventos que são simultâneos em um referencial não necessariamente serão simultâneos em outro que está em movimento relativo. A diferença de tempo entre esses eventos no referencial de E^prime pode ser calculada usando a fórmula da relatividade da simultaneidade:
De
Onde:
  • De é a diferença de tempo no referencial E^prime.
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - V^2c^2.
  • V é a velocidade relativa entre as naves.
  • De é a distância entre os eventos no referencial E.
  • c é a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma) com V = c/2:
gamma = 1raiz1 - V^2c^2 = 1raiz1 - (c/2)^2c^2 = 1raiz1 - 14 = 1raiz34 = 2raiz3

Passo 5

Sabemos que De (os sinais foram emitidos simultaneamente em E), e De. Substituindo esses valores na fórmula:
De
Substituindo os valores conhecidos:
De

Resposta

A diferença entre os tempos de emissão dos sinais, quando medida por E^prime, é de:
De
Portanto, a diferença de tempo é aproximadamente 1.924 times 10^-7 segundos.

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