A nave espacial Enterprise ( ) é alcançada pelo novo modelo, nave espacial Enterprise-linha ( ), com passando por a uma velocidade relativa . O capitão de saúda o capitão de piscando as luzes da proa e da popa, simultaneamente do ponto de vista de . Quando medida por , a distância entre as luzes é de 100 m . Qual a diferença entre os tempos de emissão dos sinais das luzes, quando medidos por ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas naves espaciais: a Enterprise ( ) e a nova Enterprise-linha ( ). A está se aproximando da com uma velocidade relativa de , onde é a velocidade da luz. O capitão da envia um sinal piscando as luzes da proa e da popa simultaneamente do ponto de vista de . A distância entre as luzes medida por é de 100 metros. Queremos descobrir qual é a diferença entre os tempos de emissão desses sinais quando medida pela .
Vamos utilizar os conceitos de Relatividade Especial, especificamente o princípio da simultaneidade relativa, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que os sinais foram emitidos simultaneamente no referencial de . Isso quer dizer que, para , os eventos de piscar a proa e a popa aconteceram ao mesmo tempo, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos considerar o referencial de . De acordo com a Relatividade Especial, eventos que são simultâneos em um referencial não necessariamente serão simultâneos em outro que está em movimento relativo. A diferença de tempo entre esses eventos no referencial de pode ser calculada usando a fórmula da relatividade da simultaneidade:
Onde:
  • é a diferença de tempo no referencial .
  • é o fator de Lorentz, dado por .
  • é a velocidade relativa entre as naves.
  • é a distância entre os eventos no referencial .
  • é a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos calcular o fator de Lorentz ( ) com :

Passo 5

Sabemos que (os sinais foram emitidos simultaneamente em ), e . Substituindo esses valores na fórmula:
Substituindo os valores conhecidos:

Resposta

A diferença entre os tempos de emissão dos sinais, quando medida por , é de:
Portanto, a diferença de tempo é aproximadamente segundos.

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