(Crescimento exponencial) Em 1975 foi estimado que para os próximos 50 anos a população de uma certa cidade deva crescer exponencialmente segundo a seguinte fórmula:
, onde
é o tempo medido em anos a partir de 1975 e,
e
são constantes a serem determinadas.
Se a população em 1995 era de 1.000 pessoas e em 2000 de 4.000 pessoas, qual será a população em 2020? Resp: 1000.
Se a população em 1995 era de 1.000 pessoas e em 2000 de 4.000 pessoas, qual será a população em 2020? Resp: 1000.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre crescimento exponencial da população de uma cidade a partir de 1975. A fórmula que a gente vai usar é
, onde:
-
é o tempo em anos desde 1975. -
e são constantes que precisamos descobrir.
Sabemos que em 1995 (
) a população era de 1.000 pessoas e em 2000 (
) era de 4.000 pessoas. Nosso objetivo é descobrir qual será a população em 2020 (
).
Passo 2
Primeiro, vamos usar os dados que temos para montar duas equações e resolver para as constantes
e
.
Para 1995 (
):
Para 2000 (
):
Passo 3
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Passo 4
Vamos resolver para
tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar
usando uma das equações iniciais. Vamos usar
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos encontrar a população em 2020 (
):
Resposta
A população em 2020 será de aproximadamente 1.024.000 pessoas.
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