(Crescimento exponencial) Em 1975 foi estimado que para os próximos 50 anos a população de uma certa cidade deva crescer exponencialmente segundo a seguinte fórmula:
, onde é o tempo medido em anos a partir de 1975 e, e são constantes a serem determinadas.
Se a população em 1995 era de 1.000 pessoas e em 2000 de 4.000 pessoas, qual será a população em 2020? Resp: 1000.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre crescimento exponencial da população de uma cidade a partir de 1975. A fórmula que a gente vai usar é , onde:
  • é o tempo em anos desde 1975.
  • e são constantes que precisamos descobrir.
Sabemos que em 1995 ( ) a população era de 1.000 pessoas e em 2000 ( ) era de 4.000 pessoas. Nosso objetivo é descobrir qual será a população em 2020 ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos usar os dados que temos para montar duas equações e resolver para as constantes e .
Para 1995 ( ):
Para 2000 ( ):

Passo 3

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :

Passo 4

Vamos resolver para tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar usando uma das equações iniciais. Vamos usar :

Passo 6

Agora que temos e , podemos encontrar a população em 2020 ( ):

Resposta

A população em 2020 será de aproximadamente 1.024.000 pessoas.

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