f^(-1)(x) = -1/3 * x^2 + 10/3;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O enunciado nos dá a função inversa . Nosso objetivo é descobrir qual é a função original . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como podemos encontrá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que é uma função inversa. Simplificando, a função inversa “desfaz” a função original . Ou seja, se você aplicar e depois , você volta ao ponto de partida: .

Passo 3

Para encontrar a função original a partir da , podemos seguir um método simples: trocar e na equação da função inversa e, em seguida, resolver para . Isso porque a função inversa basicamente reflete a função original em relação à linha .

Passo 4

Vamos começar substituindo por :
Agora, trocamos e :

Passo 5

Nosso próximo passo é resolver essa equação para . Vamos isolar o termo com :
Subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por para eliminar as frações:
Simplificando:

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
No entanto, precisamos considerar que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa. Mas, geralmente, consideramos a função inversa com uma única saída, então escolhemos a positiva:

Resposta

A função original é .

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