Crescimento populacional No estudo de dinâmicas de populações, um dos modelos mais famosos para uma população que cresce mas tem limitações é a equação de logística
em que
e
são constantes positivas. Resolva a ED levando em conta o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre crescimento populacional usando a equação logística, que é um modelo famoso para representar uma população que cresce, mas com limitações no crescimento. A equação dada é:
Aqui,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial (ED), sabendo que ela é uma equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, especificamente aquelas usadas para resolver equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada:
pode ser reescrita como:
Essa forma é útil porque se assemelha à forma geral da equação de Bernoulli, que é:
onde
e
são funções conhecidas, e
é um número real. No nosso caso, identificamos:
-
-
-
(note o sinal) -
-
Então, nossa equação logística está na forma de uma equação de Bernoulli com
.
Passo 3
A equação de Bernoulli �� não linear devido ao termo
. Para resolver, fazemos uma substituição que a transforma em uma equação linear. A substituição típica é:
No nosso caso,
, então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão acima:
Lembrando que
, temos:
Agora, a equação está na forma linear:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos ambos os lados da equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é:
Então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, então:
Tomando o inverso dos dois lados para resolver para
:
Podemos simplificar colocando
, onde
é uma constante:
Resposta
A solução geral da equação logística é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais da população.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular
da equação. Mostre que a substituição
reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bemoulli com
. A equação de Bernoulli pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição
.
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da particula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de
especificados.