Crescimento populacional No estudo de dinâmicas de populações, um dos modelos mais famosos para uma população que cresce mas tem limitações é a equação de logística
dP/dt = P(a - bP)
em que a e b são constantes positivas. Resolva a ED levando em conta o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre crescimento populacional usando a equação logística, que é um modelo famoso para representar uma população que cresce, mas com limitações no crescimento. A equação dada é:
dP/dt = P(a - bP)
Aqui, a e b são constantes positivas. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial (ED), sabendo que ela é uma equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, especificamente aquelas usadas para resolver equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada:
pode ser reescrita como:
Essa forma é útil porque se assemelha à forma geral da equação de Bernoulli, que é:
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas, e n é um número real. No nosso caso, identificamos:
  • (note o sinal)
Então, nossa equação logística está na forma de uma equação de Bernoulli com n = 2.

Passo 3

A equação de Bernoulli �� não linear devido ao termo . Para resolver, fazemos uma substituição que a transforma em uma equação linear. A substituição típica é:
No nosso caso, n = 2, então:
Agora, derivamos v em relação a t:

Passo 4

Vamos substituir dP/dt da equação original na expressão acima:
Lembrando que , temos:
Agora, a equação está na forma linear:

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos ambos os lados da equação pela :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
A integral de é:
Então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , então:
Tomando o inverso dos dois lados para resolver para P:
Podemos simplificar colocando , onde k é uma constante:

Resposta

A solução geral da equação logística é:
onde C é uma constante determinada pelas condições iniciais da população.

Exercícios relacionados