Crescimento populacional No estudo de dinâmicas de populações, um dos modelos mais famosos para uma população que cresce mas tem limitações é a equação de logística
em que
e
são constantes positivas. Resolva a ED levando em conta o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre crescimento populacional usando a equação logística, que é um modelo famoso para representar uma população que cresce, mas com limitações no crescimento. A equação dada é:
Aqui,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial (ED), sabendo que ela é uma equação de Bernoulli. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, especificamente aquelas usadas para resolver equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada:
pode ser reescrita como:
Essa forma é útil porque se assemelha à forma geral da equação de Bernoulli, que é:
onde
e
são funções conhecidas, e
é um número real. No nosso caso, identificamos:
-
-
-
(note o sinal) -
-
Então, nossa equação logística está na forma de uma equação de Bernoulli com
.
Passo 3
A equação de Bernoulli �� não linear devido ao termo
. Para resolver, fazemos uma substituição que a transforma em uma equação linear. A substituição típica é:
No nosso caso,
, então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão acima:
Lembrando que
, temos:
Agora, a equação está na forma linear:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos ambos os lados da equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é:
Então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, então:
Tomando o inverso dos dois lados para resolver para
:
Podemos simplificar colocando
, onde
é uma constante:
Resposta
A solução geral da equação logística é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais da população.