Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
x dy/dx = y + raiz(x^2 - y^2), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar e resolver a equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão . Como temos uma combinação de x e y dentro da raiz quadrada, uma boa ideia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Assim, estamos representando y em termos de x e de um novo ângulo theta.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de y em relação a x. Usando a substituição que fizemos:
Essa expressão vem da regra do produto e da derivada da função seno.

Passo 4

Vamos substituir y e na equação diferencial original:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos simplificar a equação eliminando termos iguais dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por (considerando e ):

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar theta:
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , podemos substituir theta de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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