Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar e resolver a equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão
. Como temos uma combinação de
e
dentro da raiz quadrada, uma boa ideia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Assim, estamos representando
em termos de
e de um novo ângulo
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a substituição que fizemos:
Essa expressão vem da regra do produto e da derivada da função seno.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos simplificar a equação eliminando termos iguais dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
e
):
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, podemos substituir
de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.