Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da particula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de
especificados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por
no instante
. Além disso, precisamos esboçar a trajetória da partícula e desenhar os vetores de velocidade e aceleração nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para achar a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivamos cada componente de
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Usamos a fórmula da magnitude para vetores:
Passo 5
Vamos agora avaliar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar no instante
. Substituindo
nas expressões que encontramos:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Para a velocidade escalar:
Resposta
No instante
:
- Velocidade:
- Aceleração:
- Velocidade escalar:
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em que
e
são constantes positivas. Resolva a ED levando em conta o fato de que ela é uma equação de Bernoulli.
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
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