Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da particula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de especificados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por no instante . Além disso, precisamos esboçar a trajetória da partícula e desenhar os vetores de velocidade e aceleração nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para achar a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de :
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivamos cada componente de :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Usamos a fórmula da magnitude para vetores:

Passo 5

Vamos agora avaliar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar no instante . Substituindo nas expressões que encontramos:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Para a velocidade escalar:

Resposta

No instante :
  • Velocidade:
  • Aceleração:
  • Velocidade escalar:

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