Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular y1 da equação. Mostre que a substituição y = y1 + u reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bemoulli com n = 2. A equação de Bernoulli pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição w = u^(-1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação de Riccati, e a gente precisa mostrar que fazendo a substituição , onde é uma solução particular da equação, a equação de Riccati se transforma numa Equação de Bernoulli com o expoente . Depois, vamos ver que essa Equação de Bernoulli pode virar uma Equação Linear usando a substituição . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são essas equações e como as substituições funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
Aqui, é a derivada de em relação a , e , , são funções conhecidas de .

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição , onde é uma solução particular da Equação de Riccati. Substituindo na equação original:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Sabemos que é uma solução particular, então ela satisfaz a Equação de Riccati:
Subtraindo essa equação da anterior, temos:
Fatorando :

Passo 5

Essa nova equação para é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, e , com .

Passo 6

Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Calculando a derivada de :
Substituindo da Equação de Bernoulli:
Simplificando:
Como , temos:
Rearranjando:

Resposta

Assim, mostramos que a substituição transforma a Equação de Riccati numa Equação de Bernoulli com , e a substituição adicional reduz essa Equação de Bernoulli para uma Equação Linear.

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