Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular
da equação. Mostre que a substituição
reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bemoulli com
. A equação de Bernoulli pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação de Riccati, e a gente precisa mostrar que fazendo a substituição
, onde
é uma solução particular da equação, a equação de Riccati se transforma numa Equação de Bernoulli com o expoente
. Depois, vamos ver que essa Equação de Bernoulli pode virar uma Equação Linear usando a substituição
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são essas equações e como as substituições funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
,
,
são funções conhecidas de
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição
, onde
é uma solução particular da Equação de Riccati. Substituindo na equação original:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Sabemos que
é uma solução particular, então ela satisfaz a Equação de Riccati:
Subtraindo essa equação da anterior, temos:
Fatorando
:
Passo 5
Essa nova equação para
é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
, com
.
Passo 6
Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Calculando a derivada de
:
Substituindo
da Equação de Bernoulli:
Simplificando:
Como
, temos:
Rearranjando:
Resposta
Assim, mostramos que a substituição
transforma a Equação de Riccati numa Equação de Bernoulli com
, e a substituição adicional
reduz essa Equação de Bernoulli para uma Equação Linear.