Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada pela função vetorial
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para achar a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição
em relação a
.
Passo 3
Derivando a primeira componente
, temos:
Passo 4
Derivando a segunda componente
, temos:
Passo 5
Derivando a terceira componente
, temos:
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas, a velocidade
é:
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Novamente, vamos derivar cada componente da função velocidade
.
Passo 8
Derivando a primeira componente
, temos:
Passo 9
Derivando a segunda componente
, temos:
Passo 10
Derivando a terceira componente
, temos:
Passo 11
Juntando essas derivadas, a aceleração
é:
Passo 12
Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Passo 13
Vamos simplificar isso passo a passo:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
, e a velocidade escalar é
.