Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t) = < t^2 + t, t^2 - t, t^3 >

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada pela função vetorial r(t) = < t^2 + t, t^2 - t, t^3 >. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para achar a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição r(t) em relação a t.

Passo 3

Derivando a primeira componente , temos:

Passo 4

Derivando a segunda componente , temos:

Passo 5

Derivando a terceira componente , temos:

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas, a velocidade v(t) é:

Passo 7

Em seguida, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Novamente, vamos derivar cada componente da função velocidade v(t).

Passo 8

Derivando a primeira componente , temos:

Passo 9

Derivando a segunda componente , temos:

Passo 10

Derivando a terceira componente , temos:

Passo 11

Juntando essas derivadas, a aceleração a(t) é:

Passo 12

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:

Passo 13

Vamos simplificar isso passo a passo:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é , e a velocidade escalar é .

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