Determine a função
que satisfaça as condições dadas:
e
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que temos uma equação diferencial onde a derivada de
em relação a
é igual a
. Isso significa que a taxa de variação de
depende diretamente de
, que é uma função exponencial.
Passo 3
Como a equação é separável, podemos rearranjá-la para separar as variáveis
e
. Fazendo isso, temos:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Lembrando que
, a integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito é:
Mas, como estamos lidando com constantes de integração, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
, então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Exponenciando ambos os lados:
Resposta
Portanto, a função que satisfaz as condições dadas é: