Determine a função y = y(x) que satisfaça as condições dadas:
d y/d x = e^y e y(0) = 1. Resp: y = -ln(1/e - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que temos uma equação diferencial onde a derivada de em relação a é igual a . Isso significa que a taxa de variação de depende diretamente de , que é uma função exponencial.

Passo 3

Como a equação é separável, podemos rearranjá-la para separar as variáveis e . Fazendo isso, temos:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Lembrando que , a integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito é:
Mas, como estamos lidando com constantes de integração, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Podemos reescrever como uma nova constante , então:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Exponenciando ambos os lados:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz as condições dadas é:

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