Uma criança está girando rapidamente uma bola de 0,012 Kg de massa por meio de um fio em um circulo horizontal com raio de 0,100 m. A bola completa uma volta ao redor do circulo em 0,500 s.
(a) Determine a força centrípeta que age sobre a bola.
(b) Se a velocidade for dobrada por que fator aumenta a força centrípeta?
(R.: 0,189 N; (b) 4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma criança girando uma bola de massa com um fio em um círculo horizontal de raio . A bola completa uma volta em . O conteúdo envolvido aqui é o de movimento circular uniforme e força centrípeta. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a velocidade da bola, o raio do círculo e a massa para encontrar a força centrípeta.

Passo 2

Vamos resolver a letra (a), que pede para determinar a força centrípeta que age sobre a bola. A força centrípeta ( Fc = m cdot ac ) é a força que mantém a bola em movimento circular e pode ser calculada pela fórmula:
ac = v^2r
onde:
  • é a massa da bola,
  • é a aceleração centrípeta.
A aceleração centrípeta pode ser calculada por:
onde:
  • é a velocidade linear da bola,
  • é o raio do círculo.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade v = 2pi rT da bola. Sabemos que a bola completa uma volta em v = 2pi times 0,100 , m0,500 , s = 0,200pi , m0,500 , s = 0,400pi , m/s approx 1,257 , m/s , então podemos calcular a velocidade usando a circunferência do círculo:
onde:
  • é o período de um ciclo, que é .
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a velocidade ac = v^2r = (1,257 , m/s)^20,100 , m = 1,580 , m^2/s^20,100 , m = 15,80 , m/s^2 , podemos calcular a aceleração centrípeta :

Passo 5

Com a aceleração centrípeta encontrada, podemos calcular a força centrípeta Fc = m cdot ac = 0,012 , kg times 15,80 , m/s^2 = 0,1896 , N :
Fc approx 0,189 , N
Arredondando para três casas decimais, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a letra (b), que pergunta por qual fator a força centrípeta aumenta se a velocidade for dobrada.
Sabemos que a força centrípeta é dada por:
Fc = m v^2r
Se a velocidade Fc' = m (2v)^2r = m times 4v^2r = 4 times m v^2r = 4 Fc for dobrada, ou seja, , substituindo na fórmula:
Isso mostra que a força centrípeta aumenta 4 vezes quando a velocidade é dobrada.

Resposta

(a) A força centrípeta que age sobre a bola é de aproximadamente .
(b) Se a velocidade for dobrada, a força centrípeta aumenta por um fator de 4.

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