Um cubo possui uma aresta de comprimento
. Ele é colocado com um vértice na origem. O campo elétrico não-uniforme é dado por
. a) Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo? b) Determine o fluxo total através do cubo. c) qual a carga dentro do cubo? d) ela é positiva ou negativa?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cubo com arestas de comprimento
. Esse cubo está posicionado com um vértice na origem do sistema de coordenadas. O campo elétrico que está atuando sobre ele é não-uniforme e é dado por:
Vamos precisar usar conceitos de fluxo elétrico e a Lei de Gauss para resolver as partes do exercício.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo?
O fluxo elétrico (
) através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico (
) com o vetor normal à superfície (
) vezes a área (
):
Como o cubo tem 6 faces e o campo elétrico varia com
e
, precisamos calcular o fluxo em cada face considerando a orientação do vetor normal.
Vamos identificar as faces:
-
Faces paralelas ao plano yz (normal na direção
): - Face
: vetor normal - Face
: vetor normal
- Face
-
Faces paralelas ao plano xy (normal na direção
): - Face
: vetor normal - Face
: vetor normal
- Face
-
Faces paralelas ao plano xz (normal na direção
): - Face
: vetor normal - Face
: vetor normal
- Face
Agora, vamos calcular o fluxo em cada face:
-
Face
: -
Face
: -
Face
e Face : -
Face
: -
Face
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Determine o fluxo total através do cubo.
O fluxo total é a soma de todos os fluxos através das faces do cubo. Vamos somar os resultados que obtivemos:
Substituindo:
Passo 4
Seguinte, a parte c): Qual a carga dentro do cubo?
Aqui, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico total (
) com a carga (
) dentro da superfície:
Onde
é a permissividade do vácuo (
).
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo o fluxo que encontramos:
Passo 5
Por último, a parte d): A carga é positiva ou negativa?
Olha só, a carga
que encontramos é proporcional ao fluxo total
. Como
e o fator de proporcionalidade
é positivo, isso significa que
será negativo.
Resposta
a) Fluxo elétrico através de cada face:
- Face
: - Face
: - Faces
e : cada - Face
: - Face
:
b) Fluxo total através do cubo:
c) Carga dentro do cubo:
d) A carga é negativa.