Um cubo possui uma aresta de comprimento . Ele é colocado com um vértice na origem. O campo elétrico não-uniforme é dado por . a) Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo? b) Determine o fluxo total através do cubo. c) qual a carga dentro do cubo? d) ela é positiva ou negativa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cubo com arestas de comprimento . Esse cubo está posicionado com um vértice na origem do sistema de coordenadas. O campo elétrico que está atuando sobre ele é não-uniforme e é dado por:
Vamos precisar usar conceitos de fluxo elétrico e a Lei de Gauss para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo?
O fluxo elétrico ( ) através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico ( ) com o vetor normal à superfície ( ) vezes a área ( ):
Como o cubo tem 6 faces e o campo elétrico varia com e , precisamos calcular o fluxo em cada face considerando a orientação do vetor normal.
Vamos identificar as faces:
  1. Faces paralelas ao plano yz (normal na direção ):
    • Face : vetor normal
    • Face : vetor normal
  2. Faces paralelas ao plano xy (normal na direção ):
    • Face : vetor normal
    • Face : vetor normal
  3. Faces paralelas ao plano xz (normal na direção ):
    • Face : vetor normal
    • Face : vetor normal
Agora, vamos calcular o fluxo em cada face:
  • Face :
  • Face :
  • Face e Face :
  • Face :
  • Face :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Determine o fluxo total através do cubo.
O fluxo total é a soma de todos os fluxos através das faces do cubo. Vamos somar os resultados que obtivemos:
Substituindo:

Passo 4

Seguinte, a parte c): Qual a carga dentro do cubo?
Aqui, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico total ( ) com a carga ( ) dentro da superfície:
Onde é a permissividade do vácuo ( ).
Rearranjando para encontrar :
Substituindo o fluxo que encontramos:

Passo 5

Por último, a parte d): A carga é positiva ou negativa?
Olha só, a carga que encontramos é proporcional ao fluxo total . Como e o fator de proporcionalidade é positivo, isso significa que será negativo.

Resposta

a) Fluxo elétrico através de cada face:
  • Face :
  • Face :
  • Faces e : cada
  • Face :
  • Face :
b) Fluxo total através do cubo:
c) Carga dentro do cubo:
d) A carga é negativa.

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