Um cubo possui uma aresta de comprimento L=0,3 m. Ele é colocado com um vértice na origem. O campo elétrico não-uniforme é dado por E=-5 x i+3 z k. a) Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo? b) Determine o fluxo total através do cubo. c) qual a carga dentro do cubo? d) ela é positiva ou negativa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cubo com arestas de comprimento E = -5x , i + 3z , k . Esse cubo está posicionado com um vértice na origem do sistema de coordenadas. O campo elétrico que está atuando sobre ele é não-uniforme e é dado por:
Vamos precisar usar conceitos de fluxo elétrico e a Lei de Gauss para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Qual é o fluxo elétrico através de cada face do cubo?
O fluxo elétrico ( Phi = E cdot n , A ) através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico ( E = -5(0) i + 3z k = 3z k ) com o vetor normal à superfície ( Phi = E cdot (-i) , L^2 = 0 ) vezes a área ( E = -5L i + 3z k ):
Phi = E cdot i , L^2 = (-5L) times 1 times L^2 = -5L^3
Como o cubo tem 6 faces e o campo elétrico varia com E = -5x i + 3z k e n = pm j , precisamos calcular o fluxo em cada face considerando a orientação do vetor normal.
Vamos identificar as faces:
  1. Faces paralelas ao plano yz (normal na direção Phi = E cdot j , L^2 = 0 ):
    • Face E = -5x i + 0 k : vetor normal Phi = E cdot (-k) , L^2 = 0
    • Face E = -5x i + 3L k : vetor normal Phi = E cdot k , L^2 = 3L times 1 times L^2 = 3L^3
  2. Faces paralelas ao plano xy (normal na direção ):
    • Face : vetor normal
    • Face : vetor normal
  3. Faces paralelas ao plano xz (normal na direção ):
    • Face : vetor normal
    • Face : vetor normal
Agora, vamos calcular o fluxo em cada face:
  • Face :
  • Face :
  • Face e Face :
  • Face :
  • Face :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Determine o fluxo total através do cubo.
O fluxo total é a soma de todos os fluxos através das faces do cubo. Vamos somar os resultados que obtivemos:
Phitotal = Phix=0 + Phix=L + Phiy=0 + Phiy=L + Phiz=0 + Phiz=L
Substituindo:
Phitotal = 0 + (-5L^3) + 0 + 0 + 0 + 3L^3 = -2L^3

Passo 4

Seguinte, a parte c): Qual a carga dentro do cubo?
Aqui, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico total ( Phitotal = Qvarepsilon0 ) com a carga ( Q = Phitotal times varepsilon0 ) dentro da superfície:
Q = (-2L^3) times varepsilon0
Onde é a permissividade do vácuo ( ).
Rearranjando para encontrar :
Substituindo o fluxo que encontramos:

Passo 5

Por último, a parte d): A carga é positiva ou negativa?
Olha só, a carga que encontramos é proporcional ao fluxo total . Como e o fator de proporcionalidade é positivo, isso significa que será negativo.

Resposta

a) Fluxo elétrico através de cada face:
  • Face :
  • Face :
  • Faces e : cada
  • Face :
  • Face :
b) Fluxo total através do cubo:
c) Carga dentro do cubo:
d) A carga é negativa.

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