Uma criança de massa
corre, com velocidade
em direção à borda de um carrossel de raio
e momento de inércia
, montado em uma plataforma sem atrito. O carrossel está parado. A criança salta e para na borda do carrossel: b) Calcule a energia mecânica do sistema antes e depois do salto. A energia mecânica se conserva? Em caso negativo, qual a fração de energia perdida?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma criança com massa
que está correndo com uma velocidade
em direção à borda de um carrossel com raio
e momento de inércia
. O carrossel está parado e não tem atrito. A criança pula e para na borda do carrossel. A gente precisa calcular a energia mecânica do sistema antes e depois desse salto, verificar se essa energia se conserva e, se não se conserva, descobrir qual a fração de energia que foi perdida. Para isso, vamos usar os conceitos de energia cinética, momento angular e conservação de momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia mecânica antes do salto. Como o carrossel está parado, a única energia que a gente tem é a energia cinética da criança que está correndo. A fórmula para a energia cinética é:
Então, a energia mecânica inicial é apenas essa.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece depois que a criança pula e para na borda do carrossel. Nessa situação, tanto a criança quanto o carrossel vão estar girando juntos. Para descobrir a energia após o salto, primeiro precisamos calcular a velocidade angular do sistema após a criança pular.
Passo 4
Para encontrar a velocidade angular, vamos usar a conservação do momento angular. Antes do salto, só a criança tem momento angular, que é dado por:
Depois do salto, o momento angular é a soma do momento angular do carrossel e da criança, que é:
Como não tem atrito, o momento angular se conserva, então:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a velocidade angular
, podemos calcular a energia mecânica após o salto. A energia mecânica será a energia cinética de rotação do carrossel mais a energia cinética da criança girando junto com ele. A fórmula para a energia cinética de rotação é:
Substituindo
que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora vamos comparar a energia inicial e a energia final para ver se a energia mecânica se conservou. A comparação fica assim:
Claramente, a energia final é menor que a energia inicial, o que significa que não houve conservação da energia mecânica. Isso ocorre porque parte da energia foi transformada em outras formas, como calor ou som, durante o salto da criança.
Resposta
A energia mecânica antes do salto era
e depois do salto é
. A energia mecânica não se conserva. A fração de energia perdida é
.