Crie um homomorfismo cujo núcleo seja , e aplique o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo.
Não valem exemplos que utilizem , seus múltiplos, divisores ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar um homomorfismo cujo núcleo seja o conjunto dos números inteiros . Depois, a gente precisa usar o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que é núcleo de um homomorfismo e como aplicar o teorema do isomorfismo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, é uma função entre dois grupos que respeita a operação do grupo. Ou seja, se temos grupos e , uma função é um homomorfismo se para todo , temos:
Agora, o núcleo de um homomorfismo , denotado por , é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para o elemento neutro de . Matemáticamente:
Onde é o elemento neutro em .

Passo 3

Nosso objetivo é criar um homomorfismo cujo núcleo seja exatamente . Para isso, precisamos escolher grupos e e definir uma função que satisfaça essa propriedade.
Vamos escolher , o grupo dos números reais com a operação de adição, e , que é o grupo dos números reais módulo 1 (basicamente, os números reais “envolvidos” no intervalo [0,1)). A adição em é definida da seguinte forma: se , então

Passo 4

Agora, definimos o homomorfismo por:
Ou seja, pega um número real e retorna a parte decimal dele, “ignorando” as partes inteiras.

Passo 5

Vamos verificar qual é o núcleo desse homomorfismo. Pelo que definimos:
Ou seja, todos os números reais que, quando aplicados a , dão 0 em . Isso acontece exatamente quando é um número inteiro, pois:
Portanto, , como queríamos.

Passo 6

Agora que temos o homomorfismo com núcleo , vamos aplicar o Teorema do Isomorfismo. Esse teorema nos diz que se é um homomorfismo de grupos, então o grupo quociente é isomorfo à imagem de , isto é:
No nosso caso, e , então:
Como definimos , a imagem de é exatamente .

Resposta

Portanto, o isomorfismo construído pelo Teorema do Isomorfismo é:
Isso confirma que nosso homomorfismo tem núcleo e que os grupos quocientes são isomorfos.

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