Crie um homomorfismo cujo núcleo seja Z, e aplique o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo.
Não valem exemplos que utilizem Z, seus múltiplos, divisores ou Zn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar um homomorfismo cujo núcleo seja o conjunto dos números inteiros Z. Depois, a gente precisa usar o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que é núcleo de um homomorfismo e como aplicar o teorema do isomorfismo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, é uma função entre dois grupos que respeita a operação do grupo. Ou seja, se temos grupos (G, ast) e (H, cdot), uma função f: G to H é um homomorfismo se para todo a, b in G, temos:
f(a ast b) = f(a) cdot f(b)
Agora, o núcleo de um homomorfismo f, denotado por ker(f), é o conjunto de todos os elementos de G que são mapeados para o elemento neutro de H. Matemáticamente:
ker(f) = g in G mid f(g) = eH
Onde eH é o elemento neutro em H.

Passo 3

Nosso objetivo é criar um homomorfismo cujo núcleo seja exatamente Z. Para isso, precisamos escolher grupos G e H e definir uma função f: G to H que satisfaça essa propriedade.
Vamos escolher G = R, o grupo dos números reais com a operação de adição, e H = R/Z, que é o grupo dos números reais módulo 1 (basicamente, os números reais “envolvidos” no intervalo [0,1)). A adição em H é definida da seguinte forma: se a, b in R/Z, então
a + b = (a + b) mod 1

Passo 4

Agora, definimos o homomorfismo f: R to R/Z por:
f(x) = x mod 1
Ou seja, f(x) pega um número real x e retorna a parte decimal dele, “ignorando” as partes inteiras.

Passo 5

Vamos verificar qual é o núcleo desse homomorfismo. Pelo que definimos:
ker(f) = x in R mid f(x) = 0
Ou seja, todos os números reais que, quando aplicados a f, dão 0 em R/Z. Isso acontece exatamente quando x é um número inteiro, pois:
x mod 1 = 0 se e somente se x in Z
Portanto, ker(f) = Z, como queríamos.

Passo 6

Agora que temos o homomorfismo com núcleo Z, vamos aplicar o Teorema do Isomorfismo. Esse teorema nos diz que se f: G to H é um homomorfismo de grupos, então o grupo quociente G/ker(f) é isomorfo à imagem de f, isto é:
G/ker(f) cong Im(f)
No nosso caso, G = R e ker(f) = Z, então:
R/Z cong Im(f)
Como definimos f(x) = x mod 1, a imagem de f é exatamente R/Z.

Resposta

Portanto, o isomorfismo construído pelo Teorema do Isomorfismo é:
R/Z cong R/Z
Isso confirma que nosso homomorfismo f(x) = x mod 1 tem núcleo Z e que os grupos quocientes são isomorfos.

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