Crie um homomorfismo cujo núcleo seja
, e aplique o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo.
Não valem exemplos que utilizem
, seus múltiplos, divisores ou
.
Não valem exemplos que utilizem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar um homomorfismo cujo núcleo seja o conjunto dos números inteiros
. Depois, a gente precisa usar o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que é núcleo de um homomorfismo e como aplicar o teorema do isomorfismo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, é uma função entre dois grupos que respeita a operação do grupo. Ou seja, se temos grupos
e
, uma função
é um homomorfismo se para todo
, temos:
Agora, o núcleo de um homomorfismo
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para o elemento neutro de
. Matemáticamente:
Onde
é o elemento neutro em
.
Passo 3
Nosso objetivo é criar um homomorfismo cujo núcleo seja exatamente
. Para isso, precisamos escolher grupos
e
e definir uma função
que satisfaça essa propriedade.
Vamos escolher
, o grupo dos números reais com a operação de adição, e
, que é o grupo dos números reais módulo 1 (basicamente, os números reais “envolvidos” no intervalo [0,1)). A adição em
é definida da seguinte forma: se
, então
Passo 4
Agora, definimos o homomorfismo
por:
Ou seja,
pega um número real
e retorna a parte decimal dele, “ignorando” as partes inteiras.
Passo 5
Vamos verificar qual é o núcleo desse homomorfismo. Pelo que definimos:
Ou seja, todos os números reais que, quando aplicados a
, dão 0 em
. Isso acontece exatamente quando
é um número inteiro, pois:
Portanto,
, como queríamos.
Passo 6
Agora que temos o homomorfismo com núcleo
, vamos aplicar o Teorema do Isomorfismo. Esse teorema nos diz que se
é um homomorfismo de grupos, então o grupo quociente
é isomorfo à imagem de
, isto é:
No nosso caso,
e
, então:
Como definimos
, a imagem de
é exatamente
.
Resposta
Portanto, o isomorfismo construído pelo Teorema do Isomorfismo é:
Isso confirma que nosso homomorfismo
tem núcleo
e que os grupos quocientes são isomorfos.
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e
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.