Mostre que B é base de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que um conjunto B é uma base de . representa o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base: um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Então, vamos verificar se B satisfaz essas duas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos verificar a independência linear do conjunto B. Suponha que B seja composto por três polinômios . Precisamos resolver a equação e mostrar que a única solução é . Vamos substituir os polinômios e resolver o sistema resultante para encontrar os coeficientes.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se B gera todo o espaço . Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em B. Se conseguirmos expressar um polinômio genérico como , então B gera o espaço.

Passo 5

Semos que B é linearmente independente e que gera , então, de acordo com a definição, B é uma base desse espaço. Assim, completamos a prova.

Resposta

Portanto, concluímos que B é de fato uma base de .

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