Mostre que B é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que um conjunto B é uma base de
.
representa o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base: um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Então, vamos verificar se B satisfaz essas duas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a independência linear do conjunto B. Suponha que B seja composto por três polinômios
. Precisamos resolver a equação
e mostrar que a única solução é
. Vamos substituir os polinômios e resolver o sistema resultante para encontrar os coeficientes.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se B gera todo o espaço
. Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em B. Se conseguirmos expressar um polinômio genérico
como
, então B gera o espaço.
Passo 5
Semos que B é linearmente independente e que gera
, então, de acordo com a definição, B é uma base desse espaço. Assim, completamos a prova.
Resposta
Portanto, concluímos que B é de fato uma base de
.