Determine os vértices, focos e as assíntotas das hipérboles
e
. Faça um esboço.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas hipérboles definidas pelas equações
e
. Precisamos encontrar os vértices, focos e assíntotas de cada uma delas e, por fim, fazer um esboço. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas padrão das hipérboles e entender como identificar cada uma dessas características.
Passo 2
Começamos pela primeira hipérbole:
. A forma padrão de uma hipérbole vertical é:
Vamos ajustar a equação da hipérbole para essa forma:
Aqui, identificamos que
e
. Portanto,
e
.
Passo 3
Para encontrar os vértices da hipérbole, usamos a origem como centro
e aplicamos o valor de
. Como a hipérbole é vertical, os vértices estão dispersos ao longo do eixo
:
Passo 4
Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde
. Calculando
:
Portanto, os focos são:
Passo 5
As assíntotas são as retas que a hipérbole se aproxima quando
tende ao infinito. Para uma hipérbole vertical, as equações das assíntotas são:
Como
neste caso, temos:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda hipérbole:
. Primeiro, colocamos a equação na forma padrão:
Aqui, identificamos que
e
. Portanto,
e
.
Passo 7
Os vértices desta hipérbole, também centralizada na origem, estão ao longo do eixo
devido à forma vertical:
Passo 8
Calculamos os focos usando
:
Assim, os focos são:
Passo 9
As assíntotas para esta hipérbole são dadas por:
Portanto:
Resposta
Para a hipérbole
:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
Para a hipérbole
:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
Esboço:
Para esboçar as hipérboles, trace os vértices e focos no plano cartesiano. Desenhe as assíntotas como linhas guias que a hipérbole se aproxima. A primeira hipérbole terá uma abertura mais inclinada devido às assíntotas
e
, enquanto a segunda terá assíntotas menos inclinadas
e
. Certifique-se de que as hipérboles passem pelos vértices e se aproximem das assíntotas conforme se afastam do centro.
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, e aplique o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo.
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.
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Mostre que B é base de
.
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© definida por
.
©