Determine os vértices, focos e as assíntotas das hipérboles e . Faça um esboço.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas hipérboles definidas pelas equações e . Precisamos encontrar os vértices, focos e assíntotas de cada uma delas e, por fim, fazer um esboço. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas padrão das hipérboles e entender como identificar cada uma dessas características.

Passo 2

Começamos pela primeira hipérbole: . A forma padrão de uma hipérbole vertical é:
Vamos ajustar a equação da hipérbole para essa forma:
Aqui, identificamos que e . Portanto, e .

Passo 3

Para encontrar os vértices da hipérbole, usamos a origem como centro e aplicamos o valor de . Como a hipérbole é vertical, os vértices estão dispersos ao longo do eixo :
é

Passo 4

Os focos estão localizados a uma distância do centro, onde . Calculando :
Portanto, os focos são:

Passo 5

As assíntotas são as retas que a hipérbole se aproxima quando tende ao infinito. Para uma hipérbole vertical, as equações das assíntotas são:
Como neste caso, temos:
í

Passo 6

Agora, vamos para a segunda hipérbole: . Primeiro, colocamos a equação na forma padrão:
Aqui, identificamos que e . Portanto, e .

Passo 7

Os vértices desta hipérbole, também centralizada na origem, estão ao longo do eixo devido à forma vertical:
é

Passo 8

Calculamos os focos usando :
Assim, os focos são:

Passo 9

As assíntotas para esta hipérbole são dadas por:
Portanto:
í

Resposta

Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e
Para a hipérbole :
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e
Esboço:
Para esboçar as hipérboles, trace os vértices e focos no plano cartesiano. Desenhe as assíntotas como linhas guias que a hipérbole se aproxima. A primeira hipérbole terá uma abertura mais inclinada devido às assíntotas e , enquanto a segunda terá assíntotas menos inclinadas e . Certifique-se de que as hipérboles passem pelos vértices e se aproximem das assíntotas conforme se afastam do centro.

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