Prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para provar que o grupo de automorfismos de , chamado , é isomorfo a . Basicamente, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente com automorfismos de grupos cíclicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um automorfismo, como identificar todos os automorfismos de e mostrar que eles formam um grupo que é igual a em estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse é o grupo cíclico dos inteiros módulo 5, ou seja, com a operação de adição módulo 5. Sendo cíclico, todo elemento fora do zero gera o grupo.

Passo 3

Agora, automorfismo de um grupo é essencialmente uma bijeção (função um-para-um e sobre) que preserva a estrutura do grupo. No caso de , isso significa que um automorfismo satisfaz:
Como é cíclico, um automorfismo é completamente determinado pela imagem de um gerador. Vamos escolher o gerador 1.

Passo 4

Vamos encontrar todos os possíveis automorfismos de . Como 1 gera , definimos , onde deve ser um elemento que também gera . Em , os elementos que geram o grupo são aqueles que são coprimos com 5, ou seja, 1, 2, 3 e 4.

Passo 5

Então, temos quatro possíveis valores para :
Cada escolha de define um automorfismo diferente. Por exemplo, se , então , e assim por diante para os demais elementos.

Passo 6

Agora, vamos ver como esses automorfismos se comportam em termos de estrutura de grupo. Observamos que existem quatro automorfismos, o que sugere que tem ordem 4. Além disso, conhecemos , que também é um grupo cíclico de ordem 4. Para mostrar que eles são isomorfos, basta ver que há uma correspondência bijetiva que preserva a operação do grupo.

Passo 7

Vamos definir um isomorfismo entre e . Podemos associar cada automorfismo , definido por , a um elemento de simplesmente etiquetando-os como 0, 1, 2, 3 de acordo com os valores de . A operação de composição de automorfismos corresponde exatamente à adição em .

Passo 8

Assim, estabelecemos uma correspondência um-para-um entre e , onde a estrutura de grupo é preservada. Isso significa que os dois grupos são isomorfos, ou seja:

Resposta

Portanto, provamos que é isomorfo a .

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