Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para provar que o grupo de automorfismos de
, chamado
, é isomorfo a
. Basicamente, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente com automorfismos de grupos cíclicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um automorfismo, como identificar todos os automorfismos de
e mostrar que eles formam um grupo que é igual a
em estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse é o grupo cíclico dos inteiros módulo 5, ou seja,
com a operação de adição módulo 5. Sendo cíclico, todo elemento fora do zero gera o grupo.
Passo 3
Agora, automorfismo de um grupo é essencialmente uma bijeção (função um-para-um e sobre) que preserva a estrutura do grupo. No caso de
, isso significa que um automorfismo
satisfaz:
Como
é cíclico, um automorfismo é completamente determinado pela imagem de um gerador. Vamos escolher o gerador 1.
Passo 4
Vamos encontrar todos os possíveis automorfismos de
. Como 1 gera
, definimos
, onde
deve ser um elemento que também gera
. Em
, os elementos que geram o grupo são aqueles que são coprimos com 5, ou seja, 1, 2, 3 e 4.
Passo 5
Então, temos quatro possíveis valores para
:
Cada escolha de
define um automorfismo diferente. Por exemplo, se
, então
, e assim por diante para os demais elementos.
Passo 6
Agora, vamos ver como esses automorfismos se comportam em termos de estrutura de grupo. Observamos que existem quatro automorfismos, o que sugere que
tem ordem 4. Além disso, conhecemos
, que também é um grupo cíclico de ordem 4. Para mostrar que eles são isomorfos, basta ver que há uma correspondência bijetiva que preserva a operação do grupo.
Passo 7
Vamos definir um isomorfismo entre
e
. Podemos associar cada automorfismo
, definido por
, a um elemento de
simplesmente etiquetando-os como 0, 1, 2, 3 de acordo com os valores de
. A operação de composição de automorfismos corresponde exatamente à adição em
.
Passo 8
Assim, estabelecemos uma correspondência um-para-um entre
e
, onde a estrutura de grupo é preservada. Isso significa que os dois grupos são isomorfos, ou seja:
Resposta
Portanto, provamos que
é isomorfo a
.
Exercícios relacionados
Se
e
são matrizes de ordem
, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?
Mostre que a equação
representa uma hipérbole. Determine seu centro.
Crie um homomorfismo cujo núcleo seja
, e aplique o Teorema do Isomorfismo para construir um isomorfismo.
Não valem exemplos que utilizem , seus múltiplos, divisores ou
.
Não valem exemplos que utilizem
Determine os vértices, focos e as assíntotas das hipérboles
e
. Faça um esboço.