(Critério para invertibilidade) Calcular o determinante de cada matriz abaixo indicada e determinar o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s) para que as matrizes sejam invertíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores de ela é invertível. Invertível significa que o determinante não pode ser zero. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes e realizar algumas operações na matriz para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a matriz para facilitar a visualização:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. Calcular determinantes de matrizes maiores pode ser complicado, mas podemos simplificar usando operações de linha que não mudam o determinante, como subtrações de linhas.
Passo 3
Vamos usar a propriedade de que podemos subtrair uma linha de outra sem alterar o determinante. Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da quarta linhas para simplificar a matriz.
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
Subtraindo a primeira linha da quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Observamos que a terceira linha () é igual à primeira linha multiplicada por 0 e adicionada a vezes algo. Mas para simplificar ainda mais, vamos trocar a segunda e a primeira linhas para facilitar o cálculo do determinante, já que ter um 1 no canto superior esquerdo é mais conveniente.
Após trocar a primeira e a segunda linhas:
Passo 5
Agora, vamos expandir o determinante usando a regra de Laplace pela primeira coluna, já que temos zeros facilitando a conta. A regra de Laplace nos diz que:
Onde são os elementos da primeira coluna e são as matrizes menores resultantes da remoção da linha e coluna 1.
Neste caso, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada determinante menor separadamente.
Primeiro determinante menor:
Observamos que as duas primeiras linhas são iguais nas duas primeiras colunas, o que significa que .
Segundo determinante menor:
Vamos expandir pela terceira coluna, que tem um zero, simplificando o cálculo:
Passo 7
Retornando ao cálculo do determinante principal:
Passo 8
Chegamos ao resultado de que independentemente do valor de . Isso significa que a matriz não é invertível para nenhum valor de , já que o determinante é sempre zero.
Resposta
O determinante da matriz é sempre zero, e portanto a matriz não é invertível para nenhum valor de .