(Critério para invertibilidade) Calcular o determinante de cada matriz abaixo indicada e determinar o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s) para que as matrizes sejam invertíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores de ela é invertível. Invertível significa que o determinante não pode ser zero. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes e realizar algumas operações na matriz para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a matriz E = 0 & m & m & m^2 - m 1 & m - 1 & 2m -1 & m^2 - m 0 & m & m & 0 1 & m & 3m -1 & 0 para facilitar a visualização:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4. Calcular determinantes de matrizes maiores pode ser complicado, mas podemos simplificar usando operações de linha que não mudam o determinante, como subtrações de linhas.
Passo 3
Vamos usar a propriedade de que podemos subtrair uma linha de outra sem alterar o determinante. Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da quarta linhas para simplificar a matriz.
Subtraindo a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
1 - 0 & (m - 1) - m & (2m - 1) - m & (m^2 - m) - (m^2 - m) = 1 & -1 & m - 1 & 0
Subtraindo a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
1 - 0 & m - m & (3m - 1) - m & 0 - (m^2 - m) = 1 & 0 & 2m - 1 & -m^2 + m
Agora, a matriz fica assim:
E = 0 & m & m & m^2 - m 1 & -1 & m - 1 & 0 0 & m & m & 0 1 & 0 & 2m - 1 & -m^2 + m
Passo 4
Observamos que a terceira linha ( E = 1 & -1 & m - 1 & 0 0 & m & m & m^2 - m 0 & m & m & 0 1 & 0 & 2m - 1 & -m^2 + m ) é igual à primeira linha multiplicada por 0 e adicionada a vezes algo. Mas para simplificar ainda mais, vamos trocar a segunda e a primeira linhas para facilitar o cálculo do determinante, já que ter um 1 no canto superior esquerdo é mais conveniente.
Após trocar a primeira e a segunda linhas:
Passo 5
Agora, vamos expandir o determinante usando a regra de Laplace pela primeira coluna, já que temos zeros facilitando a conta. A regra de Laplace nos diz que:
det(E) = sumi=1^n (-1)^i+1 ai1 det(Mi1)
Onde det(E) = 1 cdot det m & m & m^2 - m m & m & 0 0 & 2m - 1 & -m^2 + m - 0 + 0 - 1 cdot det -1 & m - 1 & 0 m & m & 0 0 & 2m - 1 & -m^2 + m são os elementos da primeira coluna e são as matrizes menores resultantes da remoção da linha e coluna 1.
Neste caso, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada determinante menor separadamente.
Primeiro determinante menor:
D1 = det m & m & m^2 - m m & m & 0 0 & 2m - 1 & -m^2 + m
Observamos que as duas primeiras linhas são iguais nas duas primeiras colunas, o que significa que D2 = det -1 & m - 1 & 0 m & m & 0 0 & 2m - 1 & -m^2 + m .
Segundo determinante menor:
D2 = 0 - 0 + 0 cdot det -1 & m - 1 m & m = 0
Vamos expandir pela terceira coluna, que tem um zero, simplificando o cálculo:
Passo 7
Retornando ao cálculo do determinante principal:
det(E) = 1 cdot 0 - 1 cdot 0 = 0
Passo 8
Chegamos ao resultado de que independentemente do valor de . Isso significa que a matriz não é invertível para nenhum valor de , já que o determinante é sempre zero.
Resposta
O determinante da matriz é sempre zero, e portanto a matriz não é invertível para nenhum valor de .