Três pontos de coordenadas respectivamente (0,0),(b, 2b) e (5b, 0), com b>0 são vértices de um retângulo. Obtenha as coordenadas do quarto vértice. R.: (4b,-2b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos que são vértices de um retângulo: (0,0), (b, 2b) e (5b, 0). O nosso objetivo é encontrar as coordenadas do quarto vértice desse retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre retângulos e propriedades de coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um retângulo tem lados opostos iguais e todos os ângulos retos (90 graus). Além disso, as diagonais de um retângulo se cruzam no ponto médio e têm o mesmo comprimento. Isso vai nos ajudar a encontrar o ponto que falta.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas que temos:
  • Primeiro ponto: A(0,0)
  • Segundo ponto: B(b, 2b)
  • Terceiro ponto: C(5b, 0)
Queremos encontrar o quarto ponto, que vamos chamar de D(x, y).

Passo 4

Uma maneira de achar D é usar o fato de que as diagonais de um retângulo se intersectam no ponto médio. Então, os pontos A e C formam uma diagonal, e os pontos B e D formam a outra diagonal.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto médio da diagonal AC. As coordenadas do ponto médio M entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) são dadas por:
M(x1 + x22, y1 + y22)
Aplicando para A(0,0) e C(5b,0):
M(0 + 5b2, 0 + 02) = (5b2, 0)

Passo 6

Agora, sabemos que M também é o ponto médio da diagonal BD. Então, podemos usar as coordenadas de B(b, 2b) e de D(x, y) para encontrar M:
M(b + x2, 2b + y2) = (5b2, 0)

Passo 7

Agora, igualamos as coordenadas:
b + x2 = 5b2 e 2b + y2 = 0

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para x:
b + x2 = 5b2 b + x = 5b x = 5b - b x = 4b

Passo 9

Resolvendo a segunda equação para y:
2b + y2 = 0 2b + y = 0 y = -2b

Resposta

Então, as coordenadas do quarto vértice são (4b, -2b).

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