Três pontos de coordenadas respectivamente e , com são vértices de um retângulo. Obtenha as coordenadas do quarto vértice. R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos que são vértices de um retângulo: , e . O nosso objetivo é encontrar as coordenadas do quarto vértice desse retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre retângulos e propriedades de coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um retângulo tem lados opostos iguais e todos os ângulos retos (90 graus). Além disso, as diagonais de um retângulo se cruzam no ponto médio e têm o mesmo comprimento. Isso vai nos ajudar a encontrar o ponto que falta.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas que temos:
  • Primeiro ponto:
  • Segundo ponto:
  • Terceiro ponto:
Queremos encontrar o quarto ponto, que vamos chamar de .

Passo 4

Uma maneira de achar é usar o fato de que as diagonais de um retângulo se intersectam no ponto médio. Então, os pontos e formam uma diagonal, e os pontos e formam a outra diagonal.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto médio da diagonal . As coordenadas do ponto médio entre dois pontos e são dadas por:
Aplicando para e :

Passo 6

Agora, sabemos que também é o ponto médio da diagonal . Então, podemos usar as coordenadas de e de para encontrar :

Passo 7

Agora, igualamos as coordenadas:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para :

Passo 9

Resolvendo a segunda equação para :

Resposta

Então, as coordenadas do quarto vértice são .

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