Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisa encontrar os autovalores e uma base para cada autoespaço dessa matriz. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Isso significa que vamos subtrair dos elementos da diagonal principal da matriz e calcular o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Expandindo o determinante:
Agora, igualamos ao zero para encontrar os autovalores:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz quadrada de número negativo, os autovalores são complexos:
Passo 6
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema para cada .
Passo 7
Primeiro, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar em função de :
Então, o autovetor correspondente é:
Passo 8
Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Expressando em função de :
Então, o autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Uma base para cada autoespaço correspondente é dada pelos vetores: