Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisa encontrar os autovalores e uma base para cada autoespaço dessa matriz. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Isso significa que vamos subtrair dos elementos da diagonal principal da matriz e calcular o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Expandindo o determinante:
Agora, igualamos ao zero para encontrar os autovalores:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz quadrada de número negativo, os autovalores são complexos:

Passo 6

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema para cada .

Passo 7

Primeiro, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar em função de :
Então, o autovetor correspondente é:

Passo 8

Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Expressando em função de :
Então, o autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da matriz são e . Uma base para cada autoespaço correspondente é dada pelos vetores:

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Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Assinale V ou F
e não são grupos pois, por exemplo, 0 não possui inverso em nenhum destes conjuntos.
Escolha uma opção:VerdadeiroFalso