Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz
A=(rr 1 & -2 1 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz 1 & -2 1 & 3 e precisa encontrar os autovalores e uma base para cada autoespaço dessa matriz. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Isso significa que vamos subtrair dos elementos da diagonal principal da matriz e calcular o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & -2 1 & 3 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda) - (-2)(1)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Expandindo o determinante:
(1 - lambda)(3 - lambda) + 2 = (3 - lambda - 3lambda + lambda^2) + 2 = lambda^2 - 4lambda + 5
Agora, igualamos ao zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 4lambda + 5 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm 2i2 = 2 pm i
Como temos uma raiz quadrada de número negativo, os autovalores são complexos:

Passo 6

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema para cada .

Passo 7

Primeiro, para A - lambda1 I = 1 - (2 + i) & -2 1 & 3 - (2 + i) = -1 - i & -2 1 & 1 - i :
(-1 - i)v1 - 2v2 = 0 v1 + (1 - i)v2 = 0
Resolvendo o sistema:
v1 = -(1 - i)v2
Podemos expressar v^(1) = -(1 - i) 1 = -1 + i 1 em função de :
Então, o autovetor correspondente é:

Passo 8

Agora, para A - lambda2 I = 1 - (2 - i) & -2 1 & 3 - (2 - i) = -1 + i & -2 1 & 1 + i :
(-1 + i)v1 - 2v2 = 0 v1 + (1 + i)v2 = 0
Resolvendo o sistema:
v1 = -(1 + i)v2
Expressando v^(2) = -(1 + i) 1 = -1 - i 1 em função de :
Então, o autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da matriz v^(1) = -1 + i 1 e v^(2) = -1 - i 1 são e . Uma base para cada autoespaço correspondente é dada pelos vetores:

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