Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
e precisa encontrar os autovalores e uma base para cada autoespaço dessa matriz. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade. Isso significa que vamos subtrair
dos elementos da diagonal principal da matriz
e calcular o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Expandindo o determinante:
Agora, igualamos ao zero para encontrar os autovalores:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz quadrada de número negativo, os autovalores são complexos:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema
para cada
.
Passo 7
Primeiro, para
:
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar
em função de
:
Então, o autovetor correspondente é:
Passo 8
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Expressando
em função de
:
Então, o autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
. Uma base para cada autoespaço correspondente é dada pelos vetores: