Determine a projeção ortogonal do ponto
sobre a reta
. R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a projeção ortogonal do ponto
sobre a reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre projeção de pontos em retas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção ortogonal e entender um pouco sobre a inclinação das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é projeção ortogonal. Imagine que você está segurando uma lanterna diretamente acima do ponto
e ilumina uma superfície que é a reta
. A projeção ortogonal desse ponto na reta é o ponto onde a luz toca a reta.
Passo 3
Para encontrar essa projeção, precisamos descobrir a equação da reta perpendicular à
que passa pelo ponto
. Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta original.
A equação da reta original é
, que pode ser reescrita como
. Assim, a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é
.
Passo 4
A reta perpendicular terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação original. Portanto, se
, a inclinação da reta perpendicular será:
Passo 5
Agora que sabemos que a inclinação da reta perpendicular é
, podemos escrever a equação dessa reta passando pelo ponto
. Usamos a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
- Reta original:
- Reta perpendicular:
Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo para
:
Substituindo
na equação de uma das retas para encontrar
:
Resposta
A projeção ortogonal do ponto
sobre a reta
é o ponto
.