Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta . R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a projeção ortogonal do ponto sobre a reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre projeção de pontos em retas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção ortogonal e entender um pouco sobre a inclinação das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é projeção ortogonal. Imagine que você está segurando uma lanterna diretamente acima do ponto e ilumina uma superfície que é a reta . A projeção ortogonal desse ponto na reta é o ponto onde a luz toca a reta.
Passo 3
Para encontrar essa projeção, precisamos descobrir a equação da reta perpendicular à que passa pelo ponto . Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta original.
A equação da reta original é , que pode ser reescrita como . Assim, a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é .
Passo 4
A reta perpendicular terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação original. Portanto, se , a inclinação da reta perpendicular será:
Passo 5
Agora que sabemos que a inclinação da reta perpendicular é , podemos escrever a equação dessa reta passando pelo ponto . Usamos a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Reta original:
Reta perpendicular:
Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, igualamos as duas expressões de :
Resolvendo para :
Substituindo na equação de uma das retas para encontrar :
Resposta
A projeção ortogonal do ponto sobre a reta é o ponto .