Determine a projeção ortogonal do ponto (3,5) sobre a reta x+y-2=0. R.: (0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos a projeção ortogonal do ponto (3,5) sobre a reta x + y - 2 = 0. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre projeção de pontos em retas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção ortogonal e entender um pouco sobre a inclinação das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é projeção ortogonal. Imagine que você está segurando uma lanterna diretamente acima do ponto (3,5) e ilumina uma superfície que é a reta x + y - 2 = 0. A projeção ortogonal desse ponto na reta é o ponto onde a luz toca a reta.

Passo 3

Para encontrar essa projeção, precisamos descobrir a equação da reta perpendicular à x + y - 2 = 0 que passa pelo ponto (3,5). Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta original.
A equação da reta original é x + y - 2 = 0, que pode ser reescrita como y = -x + 2. Assim, a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é m = -1.

Passo 4

A reta perpendicular terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação original. Portanto, se m = -1, a inclinação da reta perpendicular será:
mperp = -1m = -1-1 = 1

Passo 5

Agora que sabemos que a inclinação da reta perpendicular é 1, podemos escrever a equação dessa reta passando pelo ponto (3,5). Usamos a forma ponto-inclinação:
y - y1 = mperp(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 5 = 1(x - 3)
Simplificando:
y - 5 = x - 3 y = x + 2

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. Reta original: y = -x + 2
  2. Reta perpendicular: y = x + 2
Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, igualamos as duas expressões de y:
-x + 2 = x + 2
Resolvendo para x:
-x - x + 2 = 2 -2x + 2 = 2 -2x = 0 x = 0
Substituindo x = 0 na equação de uma das retas para encontrar y:
y = 0 + 2 = 2

Resposta

A projeção ortogonal do ponto (3,5) sobre a reta x + y - 2 = 0 é o ponto (0,2).

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