Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como
WT=n R T ln (PiPf)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o trabalho realizado por um gás ideal em um processo isotérmico pode ser expresso pela fórmula:
WT=n R T ln (PiPf)
Aqui, estamos lidando com a Termodinâmica, especificamente com processos isotérmicos (processos a temperatura constante). Para resolver isso, vamos usar a equação dos gases ideais e a definição de trabalho em processos termodinâmicos.

Passo 2

Primeiro, lembremos a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura.
Como o processo é isotérmico, a temperatura permanece constante durante todo o processo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho realizado por um gás durante um processo termodinâmico:
W = integralVi^Vf P , dV
Onde:
  • é o trabalho realizado,
  • é o volume inicial,
  • é o volume final.

Passo 4

Como o processo é isotérmico, podemos substituir P = n R TV da equação dos gases ideais na expressão do trabalho:
W = integralVi^Vf n R TV , dV
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
W = n R T integralVi^Vf 1V , dV = n R T [ ln V ]Vi^Vf
O que resulta em:
W = n R T ln ( VfVi )

Passo 6

Para expressar o trabalho em termos de pressão, usamos a equação dos gases ideais novamente. Como Pi Vi = Pf Vf Rightarrow VfVi = PiPf e W = n R T ln ( PiPf ) é constante:
Substituindo na expressão do trabalho:

Resposta

Assim, mostramos que o trabalho realizado pelo gás ideal em um processo isotérmico é:
WT=n R T ln (PiPf)

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