Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o trabalho realizado por um gás ideal em um processo isotérmico pode ser expresso pela fórmula:
Aqui, estamos lidando com a Termodinâmica, especificamente com processos isotérmicos (processos a temperatura constante). Para resolver isso, vamos usar a equação dos gases ideais e a definição de trabalho em processos termodinâmicos.

Passo 2

Primeiro, lembremos a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura.
Como o processo é isotérmico, a temperatura permanece constante durante todo o processo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho realizado por um gás durante um processo termodinâmico:
Onde:
  • é o trabalho realizado,
  • é o volume inicial,
  • é o volume final.

Passo 4

Como o processo é isotérmico, podemos substituir da equação dos gases ideais na expressão do trabalho:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
O que resulta em:

Passo 6

Para expressar o trabalho em termos de pressão, usamos a equação dos gases ideais novamente. Como e é constante:
Substituindo na expressão do trabalho:

Resposta

Assim, mostramos que o trabalho realizado pelo gás ideal em um processo isotérmico é:

Exercícios relacionados

Utilizando apenas um cubo de gelo de 50 g misturado com 200 g de água em um recipiente termicamente isolado. Se a água está inicialmente a e o gelo foi removido do congelador a , qual é a temperatura final se é usado apenas um cubo de gelo?
onde é a densidade do meio (massa por unidade de volume) e é o coeficiente de dilatação volumétrica, uma medida da rigidez do meio. Mais precisamente, se imaginarmos aplicando um aumento na pressão a um pedaço do material, e este aumento resulta em uma mudança (negativa) no volume , então é definido como a mudança de pressão dividida pela magnitude da mudança fracionária no volume
Esta definição ainda é ambígua, no entanto, porque não diz se a compressão deve ocorrer isotermicamente ou adiabaticamente (ou de alguma outra forma)
a-) Calcule de um gás ideal, em termos de sua pressão P , para compressões isotérmicas e adiabáticas.
onde e são constantes que dependem do tipo de gás. Calcule o segundo e terceiro coeficientes viriais ( e ) para um gás obedecendo à equação de van der Waals, em termos de e . (Dica: a expansão binomial diz que , desde que . Aplique esta aproximação na expressão .)
Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média das moléculas de ar. Mostre, então, que pressão obedece à equação diferencial.