(6 pontos)
Questão: Calcule as integrais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a
. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por partes, uma técnica super útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. Vamos precisar escolher bem quais partes da função vão ser
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Isso significa que a gente escolhe uma parte da função para ser
e outra para ser
, e então aplica a fórmula para simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos escolher
e
para a nossa integral . Geralmente, a gente escolhe
como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
Passo 4
Com essas escolhas, precisamos calcular
e
. Fazendo isso:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar
:
Então, a integral fica:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a
, não precisamos do
. Agora, vamos avaliar de 0 a
:
Sabemos que
, ,
e . Substituindo:
Resposta
A integral vale -2π.