(6 pontos) 1^a Questão: Calcule as integrais:
(b) integral0^2 pi t sen(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por partes, uma técnica super útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. Vamos precisar escolher bem quais partes da função vão ser e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que a gente escolhe uma parte da função para ser e outra para ser , e então aplica a fórmula para simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos escolher u = t e dv = sen(t) , dt e para a nossa integral . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:

Passo 4

Com essas escolhas, precisamos calcular du = ddt(t) , dt = 1 cdot dt e v = integral sen(t) , dt = -cos(t) e . Fazendo isso:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
integral t cdot sen(t) , dt = u cdot v - integral v , du = t cdot (-cos(t)) - integral (-cos(t)) cdot 1 , dt

Passo 6

Vamos integrar integral cos(t) , dt = sen(t) :
Então, a integral fica:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a - t cdot cos(t) + sen(t) + C , não precisamos do [ - t cdot cos(t) + sen(t) ]0^2pi = ( -2pi cdot cos(2pi) + sen(2pi) ) - ( -0 cdot cos(0) + sen(0) ) . Agora, vamos avaliar de 0 a = ( -2pi cdot 1 + 0 ) - ( 0 + 0 ) = -2pi :
Sabemos que , , e . Substituindo:

Resposta

A integral vale -2π.

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