Um cubo é definido por 1. Se D=2 x^2 y x+3 x^2 y^2 y C / m^2. (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo. (b) Calcule o divergente de D no centro do cubo. © Estime a carga total dentro do cubo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cubo definido pelas coordenadas e um campo elétrico . A matéria envolve a Lei de Gauss, que é fundamental no eletromagnetismo para relacionar o fluxo elétrico atravessando uma superfície fechada com a carga elétrica contida dentro dela. Vamos precisar usar conceitos de fluxo de campos vetoriais e divergente para resolver as partes (a), (b) e © da questão.

Passo 2

Parte (a): Aplicar a Lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo.
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total PhiE = Qtotalvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida pela permissividade do vácuo :
No entanto, também podemos calcular o fluxo diretamente integrando o campo sobre todas as faces do cubo. Como somos dados um campo , que está relacionado ao campo elétrico por , podemos usar diretamente para calcular o fluxo.
Vamos considerar cada face do cubo e calcular o fluxo através dela. Como o campo só tem componentes nas direções e , o fluxo através das faces paralelas a será zero.

Passo 3

Calculando o fluxo através das faces no eixo x:
  1. Face em D = 2(1)^2 y, x + 3(1)^2 y^2, y = 2y, x + 3y^2, y :
Phix=1 = integral1^1.2integral1^1.2 D cdot (-x), dy, dz = -integral1^1.2integral1^1.2 2y, dy, dz = -2 integral1^1.2 [ y^22 ]1^1.2 dz = -2 cdot (1.2)^2 - 12 cdot 0.2 = -0.08, C/m
O vetor normal é D = 2(1.2)^2 y, x + 3(1.2)^2 y^2, y = 2(1.44) y, x + 3(1.44) y^2, y = 2.88y, x + 4.32y^2, y , então o fluxo é:
Phix=1.2 = integral1^1.2integral1^1.2 2.88y, dy, dz = 2.88 integral1^1.2 [ y^22 ]1^1.2 dz = 2.88 cdot (1.2)^2 - 12 cdot 0.2 = 0.1152, C/m
  1. Face em :
O vetor normal é , então o fluxo é:

Passo 4

Calculando o fluxo através das faces no eixo y:
  1. Face em D = 2x^2(1), x + 3x^2(1)^2, y = 2x^2, x + 3x^2, y :
Phiy=1 = integral1^1.2integral1^1.2 D cdot (-y), dx, dz = -integral1^1.2integral1^1.2 3x^2, dx, dz = -3 integral1^1.2 [ x^33 ]1^1.2 dz = -3 cdot (1.2)^3 - 13 cdot 0.2 = -0.144, C/m
O vetor normal é D = 2x^2(1.2), x + 3x^2(1.2)^2, y = 2.4x^2, x + 4.32x^2, y , então o fluxo é:
Phiy=1.2 = integral1^1.2integral1^1.2 4.32x^2, dx, dz = 4.32 integral1^1.2 [ x^33 ]1^1.2 dz = 4.32 cdot (1.2)^3 - 13 cdot 0.2 = 0.1728, C/m
  1. Face em :
O vetor normal é , então o fluxo é:

Passo 5

As faces no eixo z não contribuem para o fluxo total, pois o campo Phitotal = Phix=1 + Phix=1.2 + Phiy=1 + Phiy=1.2 = -0.08 + 0.1152 - 0.144 + 0.1728 = 0.064, C/m não tem componente em . Portanto, somamos os fluxos calculados:

Passo 6

Parte (b): Calcular o divergente de nabla cdot D = partial Dxpartial x + partial Dypartial y + partial Dzpartial z no centro do cubo.
O divergente de um campo vetorial nabla cdot D = partialpartial x(2x^2y) + partialpartial y(3x^2y^2) = 4xy + 6x^2y é dado por:
nabla cdot D = 4(1.1)(1.1) + 6(1.1)^2(1.1) = 4 cdot 1.21 + 6 cdot 1.331 = 4.84 + 7.986 = 12.826, C/m^3
No nosso caso, , então:
O centro do cubo está em , , . Substituindo:

Passo 7

Parte ©: Estimar a carga total dentro do cubo.
Usando a divergente calculada e aplicando o teorema da divergente (que é uma forma da Lei de Gauss), temos:
Qtotal = integral triplaV (nabla cdot D), dV
Como estamos estimando no centro e assumindo que a divergente é aproximadamente constante no cubo:
Qtotal approx (nabla cdot D) cdot V = 12.826, C/m^3 cdot (0.2)^3, m^3 = 12.826 cdot 0.008 = 0.1026, C

Resposta

(a) O fluxo total que deixa a superfície do cubo é aproximadamente .
(b) O divergente de no centro do cubo é .
© A carga total dentro do cubo é estimada em .

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