Um cubo é definido por
. Se
. (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo. (b) Calcule o divergente de
no centro do cubo. © Estime a carga total dentro do cubo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cubo definido pelas coordenadas
e um campo elétrico
. A matéria envolve a Lei de Gauss, que é fundamental no eletromagnetismo para relacionar o fluxo elétrico atravessando uma superfície fechada com a carga elétrica contida dentro dela. Vamos precisar usar conceitos de fluxo de campos vetoriais e divergente para resolver as partes (a), (b) e © da questão.
Passo 2
Parte (a): Aplicar a Lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo.
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dela dividida pela permissividade do vácuo
:
No entanto, também podemos calcular o fluxo diretamente integrando o campo
sobre todas as faces do cubo. Como somos dados um campo
, que está relacionado ao campo elétrico
por
, podemos usar diretamente
para calcular o fluxo.
Vamos considerar cada face do cubo e calcular o fluxo através dela. Como o campo só tem componentes nas direções
e
, o fluxo através das faces paralelas a
será zero.
Passo 3
Calculando o fluxo através das faces no eixo x:
- Face em
:
O vetor normal é
, então o fluxo é:
- Face em
:
O vetor normal é
, então o fluxo é:
Passo 4
Calculando o fluxo através das faces no eixo y:
- Face em
:
O vetor normal é
, então o fluxo é:
- Face em
:
O vetor normal é
, então o fluxo é:
Passo 5
As faces no eixo z não contribuem para o fluxo total, pois o campo
não tem componente em
. Portanto, somamos os fluxos calculados:
Passo 6
Parte (b): Calcular o divergente de
no centro do cubo.
O divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
, então:
O centro do cubo está em
,
,
. Substituindo:
Passo 7
Parte ©: Estimar a carga total dentro do cubo.
Usando a divergente calculada e aplicando o teorema da divergente (que é uma forma da Lei de Gauss), temos:
Como estamos estimando no centro e assumindo que a divergente é aproximadamente constante no cubo:
Resposta
(a) O fluxo total que deixa a superfície do cubo é aproximadamente
.
(b) O divergente de
no centro do cubo é
.
© A carga total dentro do cubo é estimada em
.
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