Um cubo de madeira, com aresta de 15 cm e 1,8 kg de massa, flutua na água com uma das faces paralela à superfície livre do líquido. Calcular o período de oscilação do cubo, na direção vertical, se for ligeiramente empurrado para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um cubo de madeira com aresta de 15 cm e massa de 1,8 kg que está flutuando na água. Queremos descobrir quanto tempo ele leva para oscilar para cima e para baixo se empurrarmos ele um pouquinho para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de física das oscilações e da flutuabilidade, precisando entender como a água exerce uma força de empuxo no cubo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o volume do cubo. Como a aresta é de 15 cm, convertemos para metros para facilitar os cálculos:
Lado = 15 , cm = 0,15 , m
O volume V = Lado^3 de um cubo é dado por:
V = (0,15 , m)^3 = 0,003375 , m^3
Então,

Passo 3

Agora, vamos determinar a densidade da madeira. A densidade rho = mV é massa por unidade de volume:
rho = 1,8 , kg0,003375 , m^3 approx 533,33 , kg/m^3
Substituindo os valores:

Passo 4

Sabemos que o empuxo Fe = rhoágua cdot g cdot Vdeslocado que a água exerce no cubo é igual ao peso da água deslocada. O empuxo é dado por:
á
Aqui, á é a densidade da água ( ) e é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 5

Quando o cubo é empurrado para baixo, ele desloca mais água, aumentando o empuxo. A força restauradora F = k cdot x que traz o cubo de volta é proporcional ao deslocamento k = rhoágua cdot g cdot A :
A = Lado^2 = (0,15 , m)^2 = 0,0225 , m^2
Onde k = 1000 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 0,0225 , m^2 = 220,725 , N/m é a constante elástica equivalente no contexto da flutuabilidade.
Para oscilações harmônicas, a constante pode ser relacionada à variação do empuxo com o deslocamento:
á
Aqui, é a área da face do cubo em contato com a água:
Então,

Passo 6

Agora, podemos usar a fórmula do período T = 2pi raizmk de oscilações harmônicas:
T = 2pi raiz1,8 , kg220,725 , N/m
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos calcular o valor dentro da raiz:
1,8220,725 approx 0,00815 , s^2/m
Então,
T = 2pi raiz0,00815 approx 2pi cdot 0,0903
T approx 0,567 , s

Resposta

O período de oscilação do cubo é aproximadamente 0,57 segundos.

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