Um cubo de madeira (lado=1m) flutua na água contida num tanque que pode ser pressurizado. O peso específico da madeira é igual a 5813N/m3. Determine a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo quando a pressão na interface é a atmosférica padrão. Admita, agora, que o tanque foi pressurizado e que a pressão relativa na interface foi alterada para 6,9 kPa. Determine, nesta nova condição, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo. Faça uma lista com as hipóteses utilizadas na solução do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cubo de madeira com lado de 1 metro que está flutuando na água dentro de um tanque que pode ter a pressão ajustada. O peso específico da madeira é 5813 N/m³. Precisamos descobrir a distância entre a superfície da água e a parte de cima do cubo em duas situações: quando a pressão é a atmosférica padrão e quando a pressão na interface é aumentada para 6,9 kPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de flutuabilidade e relação entre pressão e profundidade em fluidos.

Passo 2

Vamos começar entendendo o equilíbrio em que o cubo está flutuando. A força de empuxo (que é a força para cima exercida pela água) deve ser igual ao peso do cubo para que ele flutue. A força de empuxo é dada por:
E = gammaágua cdot Vsubmerso á
Onde:
  • P = gammamadeira cdot Vcubo á é o peso específico da água (aproximadamente 9800 N/m³).
  • é o volume do cubo que está submerso na água.
O peso do cubo é:
Com , já que o lado do cubo é 1 metro.

Passo 3

Igualando a força de empuxo ao peso do cubo:
gammaágua cdot Vsubmerso = gammamadeira cdot Vcubo á
Como gammaágua cdot h = gammamadeira cdot 1 , onde h = gammamadeiragammaágua é a área da base do cubo (1 m²) e h = 58139800 approx 0,593 , m é a altura submersa, temos:
á
Resolvendo para :
á
Substituindo os valores:
Isso significa que, com pressão atmosférica padrão, a parte submersa do cubo é aproximadamente 0,593 metros.

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo. O lado do cubo é 1 metro, então:
Distância = 1 , m - h = 1 - 0,593 = 0,407 , m â
Então, a distância é aproximadamente 0,407 metros.

Passo 5

Agora, consideramos que o tanque foi pressurizado, aumentando a pressão na interface para 6,9 kPa. A pressão total na interface agora é a pressão atmosférica mais a pressão adicional:
Ptotal = Patm + 6,900 , Pa = 101,325 , kPa + 6,9 , kPa = 108,225 , kPa
A relação entre pressão e profundidade é dada por:
P = Ptotal = gammaágua cdot h á
Resolvendo para h = Ptotalgammaágua = 1082259800 approx 11,04 , m :
á
No entanto, como o cubo tem apenas 1 metro de altura, isso indica que o cubo ficará completamente submerso, e a distância entre a superfície da água e a face superior será negativa, o que não faz sentido físico. Isso sugere que, com a pressão adicional, o cubo não consegue mais flutuar e será completamente submerso.

Passo 6

Hipóteses utilizadas na solução:
  1. O cubo é homogêneo e tem densidade constante.
  2. A água é incompressível e tem densidade constante (9800 N/m³).
  3. As pressões consideradas são estáticas e uniformes.
  4. Não há forças externas além da pressão da água e do peso do cubo.
  5. A temperatura permanece constante, não afetando a densidade da água ou da madeira.
  6. O tanque é suficientemente grande para não restringir o movimento da água.

Resposta

Quando a pressão na interface é atmosférica padrão, a distância entre a superfície da água e a face superior do cubo é aproximadamente 0,407 metros. Com a pressão relativa aumentada para 6,9 kPa, o cubo fica completamente submerso, e não há distância entre a superfície e a face superior.

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