Um cubo de madeira (lado ) flutua na água contida num tanque que pode ser pressurizado. O peso específico da madeira é igual a . Determine a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo quando a pressão na interface é a atmosférica padrão. Admita, agora, que o tanque foi pressurizado e que a pressão relativa na interface foi alterada para . Determine, nesta nova condição, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo. Faça uma lista com as hipótese utilizadas na solução do problema e justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cubo de madeira com lado de 1,0 m que está flutuando na água de um tanque. A gente precisa descobrir quão alto o cubo está submerso na água, ou seja, a distância entre a superfície da água e a parte de cima do cubo, em duas situações:
  1. Pressão atmosférica padrão na interface (quando o tanque não está pressurizado).
  2. Pressão aumentada na interface (quando o tanque é pressurizado para 6,9 kPa acima da pressão atmosférica).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de empuxo e equilíbrio de forças. Vamos precisar entender como a pressão influencia o nível de submersão do cubo na água.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é empuxo. Empuxo é a força que a água exerce para cima no objeto submerso, e ele é igual ao peso do volume de água deslocado pelo objeto. Quando o cubo está flutuando, o empuxo é igual ao peso do cubo.
Vamos calcular o peso específico da água para termos tudo em ordem:
  • Peso específico da água ( á) = 9810 N/m³

Passo 3

Agora, calculamos o peso do cubo de madeira. Como sabemos o peso específico ( ) e o volume do cubo ( ):

Passo 4

Como o cubo está flutuando, o empuxo é igual ao peso do cubo:
á
Aqui, é o volume de água deslocado, que depende de quão profundamente o cubo está submerso.

Passo 5

Vamos chamar de a distância entre a superfície da água e a face superior do cubo. Como o cubo tem 1,0 m de altura, o volume submerso é:
Á

Passo 6

Substituindo na equação do empuxo:
á

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Então, na pressão atmosférica padrão, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo é aproximadamente 0,408 metros.

Passo 9

Agora, vamos considerar que o tanque foi pressurizado e a pressão relativa na interface aumentou para 6,9 kPa. Isso significa que a pressão total na interface é agora:
é
No entanto, para a flutuação, o empuxo ainda precisa equilibrar o peso do cubo. A pressão adicional não muda diretamente o empuxo, mas pode afetar o nível de submersão se considerarmos compressibilidade, mas como estamos lidando com líquidos incompressíveis nesse contexto, a distância permanece a mesma.

Passo 10

Portanto, mesmo com a pressão relativa aumentada para 6,9 kPa, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo ainda é aproximadamente 0,408 metros.

Passo 11

Hipóteses utilizadas:
  1. Líquido incompressível: Consideramos que a água não se comprime com o aumento de pressão, o que é válido para aumentos moderados de pressão.
  2. Equilíbrio estático: O cubo está em equilíbrio, ou seja, não está afundando nem subindo.
  3. Pressão uniforme na interface: A pressão adicional é aplicada uniformemente sobre a superfície da água.
  4. Condutividade da pressão: A pressão é transmitida igualmente em todas as direções no líquido, conforme o princípio de Pascal.
  5. Temperatura constante: Assumimos que a temperatura não varia, de modo que a densidade da água permanece constante.
Essas hipóteses simplificam o problema e permitem que aplicemos os conceitos de empuxo e equilíbrio de forças de maneira direta.

Resposta

A distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo é de aproximadamente 0,408 metros tanto na pressão atmosférica padrão quanto quando a pressão relativa na interface é aumentada para 6,9 kPa.

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