Um cubo de madeira (lado
) flutua na água contida num tanque que pode ser pressurizado. O peso específico da madeira é igual a
. Determine a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo quando a pressão na interface é a atmosférica padrão. Admita, agora, que o tanque foi pressurizado e que a pressão relativa na interface foi alterada para
. Determine, nesta nova condição, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo. Faça uma lista com as hipótese utilizadas na solução do problema e justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cubo de madeira com lado de 1,0 m que está flutuando na água de um tanque. A gente precisa descobrir quão alto o cubo está submerso na água, ou seja, a distância entre a superfície da água e a parte de cima do cubo, em duas situações:
- Pressão atmosférica padrão na interface (quando o tanque não está pressurizado).
- Pressão aumentada na interface (quando o tanque é pressurizado para 6,9 kPa acima da pressão atmosférica).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de empuxo e equilíbrio de forças. Vamos precisar entender como a pressão influencia o nível de submersão do cubo na água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é empuxo. Empuxo é a força que a água exerce para cima no objeto submerso, e ele é igual ao peso do volume de água deslocado pelo objeto. Quando o cubo está flutuando, o empuxo é igual ao peso do cubo.
Vamos calcular o peso específico da água para termos tudo em ordem:
- Peso específico da água (
) = 9810 N/m³
Passo 3
Agora, calculamos o peso do cubo de madeira. Como sabemos o peso específico (
) e o volume do cubo (
):
Passo 4
Como o cubo está flutuando, o empuxo é igual ao peso do cubo:
Aqui,
é o volume de água deslocado, que depende de quão profundamente o cubo está submerso.
Passo 5
Vamos chamar de
a distância entre a superfície da água e a face superior do cubo. Como o cubo tem 1,0 m de altura, o volume submerso é:
Passo 6
Substituindo na equação do empuxo:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Então, na pressão atmosférica padrão, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo é aproximadamente 0,408 metros.
Passo 9
Agora, vamos considerar que o tanque foi pressurizado e a pressão relativa na interface aumentou para 6,9 kPa. Isso significa que a pressão total na interface é agora:
No entanto, para a flutuação, o empuxo ainda precisa equilibrar o peso do cubo. A pressão adicional não muda diretamente o empuxo, mas pode afetar o nível de submersão se considerarmos compressibilidade, mas como estamos lidando com líquidos incompressíveis nesse contexto, a distância
permanece a mesma.
Passo 10
Portanto, mesmo com a pressão relativa aumentada para 6,9 kPa, a distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo ainda é aproximadamente 0,408 metros.
Passo 11
Hipóteses utilizadas:
- Líquido incompressível: Consideramos que a água não se comprime com o aumento de pressão, o que é válido para aumentos moderados de pressão.
- Equilíbrio estático: O cubo está em equilíbrio, ou seja, não está afundando nem subindo.
- Pressão uniforme na interface: A pressão adicional é aplicada uniformemente sobre a superfície da água.
- Condutividade da pressão: A pressão é transmitida igualmente em todas as direções no líquido, conforme o princípio de Pascal.
- Temperatura constante: Assumimos que a temperatura não varia, de modo que a densidade da água permanece constante.
Essas hipóteses simplificam o problema e permitem que aplicemos os conceitos de empuxo e equilíbrio de forças de maneira direta.
Resposta
A distância entre a superfície livre da água e a face superior do cubo é de aproximadamente 0,408 metros tanto na pressão atmosférica padrão quanto quando a pressão relativa na interface é aumentada para 6,9 kPa.