u(r)umax =[1-(2 yh)^2]
Onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( mu=0,00114 N s / m^2 ) com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=5 mm. Calcule a força sobre uma seção de 0,3 m^2 da placa inferior. R: F=0,0137;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona a velocidade em um ponto com a velocidade máxima . A gente está lidando com escoamento de água entre duas placas paralelas, onde é a distância entre elas. O objetivo é calcular a força sobre uma seção de da placa inferior. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e força de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
u(r)umax = [1 - (2yh)^2]
Aqui, é a velocidade do fluido em um ponto a uma distância da linha mediana entre as placas. é a distância entre as placas. Essa equação nos mostra como a velocidade do fluido varia entre as placas.

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar a força exercida pelo fluido na placa inferior. Para isso, precisamos calcular o esforço cortante (ou tensão de cisalhamento) na placa. A tensão de cisalhamento tau = mu dudy em um fluido viscoso é dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é o gradiente de velocidade.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de velocidade u(r) = umax [1 - (2yh)^2] . A equação dada relaciona dudy = umax cdot (-2 cdot 2yh^2) = -4umax yh^2 com :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tau = mu cdot (-4umax yh^2) = -4mu umax yh^2 na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = 4mu umax yh^2
Como estamos interessados na magnitude da força, podemos desconsiderar o sinal negativo:

Passo 6

Para encontrar a força total F = integral-h/2^h/2 tau cdot b , dy sobre a seção da placa, devemos integrar a tensão de cisalhamento sobre a área F = taumédia cdot A :
Onde é a largura da placa. No entanto, como a força é distribuída uniformemente, podemos simplificar usando a média da tensão:
é

Passo 7

Calculamos a média da tensão de cisalhamento. Observando a simetria do problema, a média de taumédia = 4mu umaxh^2 cdot ( h^28 ) = mu umax2 de a é zero, mas como estamos trabalhando com a magnitude:
é

Passo 8

Agora, substituímos os valores fornecidos:
  • F = 0,00114 times 0,052 times 0,3 = 0,0000572 times 0,3 = 0,0000285 times 0,3 = 0,00000855 , N
Então:

Resposta

A força sobre a seção de da placa inferior é aproximadamente .

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