Onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água (
) com velocidade máxima de
e
. Calcule a força sobre uma seção de
da placa inferior.
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona a velocidade
em um ponto
com a velocidade máxima
. A gente está lidando com escoamento de água entre duas placas paralelas, onde
é a distância entre elas. O objetivo é calcular a força sobre uma seção de
da placa inferior. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e força de cisalhamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui,
é a velocidade do fluido em um ponto
a uma distância
da linha mediana entre as placas.
é a distância entre as placas. Essa equação nos mostra como a velocidade do fluido varia entre as placas.
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar a força exercida pelo fluido na placa inferior. Para isso, precisamos calcular o esforço cortante (ou tensão de cisalhamento) na placa. A tensão de cisalhamento
em um fluido viscoso é dada por:
Onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é o gradiente de velocidade.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de velocidade
. A equação dada relaciona
com
:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da tensão de cisalhamento:
Como estamos interessados na magnitude da força, podemos desconsiderar o sinal negativo:
Passo 6
Para encontrar a força total
sobre a seção da placa, devemos integrar a tensão de cisalhamento sobre a área
:
Onde
é a largura da placa. No entanto, como a força é distribuída uniformemente, podemos simplificar usando a média da tensão:
Passo 7
Calculamos a média da tensão de cisalhamento. Observando a simetria do problema, a média de
de
a
é zero, mas como estamos trabalhando com a magnitude:
Passo 8
Agora, substituímos os valores fornecidos:
Então:
Resposta
A força sobre a seção de
da placa inferior é aproximadamente
.