Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . A densidade desse cubo é dada por . O que a gente precisa encontrar aqui são os **momentos de inércia** desse cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para objetos tridimensionais, temos três momentos de inércia principais: , e , que são em relação aos eixos , e respectivamente.
Passo 3
A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo é:
De forma semelhante, temos:
Aqui, é o volume do cubo.
Passo 4
Como nosso cubo vai de 0 a 1 em cada direção ( , , ), os limites das integrais vão de 0 a 1 para cada variável. Vamos calcular primeiro:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo separadamente.
Passo 6
Realizando as integrações:
Integrando em :
Então:
Passo 7
Agora, integramos em e . Devido à simetria do cubo e da densidade, os momentos de inércia serão iguais nos três eixos:
Portanto, podemos simplificar nossos cálculos.
Passo 8
Após realizar todas as integrações, chegamos ao resultado:
Resposta
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Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: b) .
Resp:
Considere o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de , explicitando todos os limites de integração (em e se usar integral dupla ou em e se usar integral tripla).
Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp: