Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é . Encontre: c) Os momentos de inércia. Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . A densidade desse cubo é dada por . O que a gente precisa encontrar aqui são os **momentos de inércia** desse cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para objetos tridimensionais, temos três momentos de inércia principais: , e , que são em relação aos eixos , e respectivamente.

Passo 3

A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo é: De forma semelhante, temos: Aqui, é o volume do cubo.

Passo 4

Como nosso cubo vai de 0 a 1 em cada direção (, , ), os limites das integrais vão de 0 a 1 para cada variável. Vamos calcular primeiro:

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral: Agora, integramos cada termo separadamente.

Passo 6

Realizando as integrações: Integrando em : Então:

Passo 7

Agora, integramos em e . Devido à simetria do cubo e da densidade, os momentos de inércia serão iguais nos três eixos: Portanto, podemos simplificar nossos cálculos.

Passo 8

Após realizar todas as integrações, chegamos ao resultado:

Resposta

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Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é . Encontre: b) . Resp:
Considere o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Escreva a integral dupla ou a integral tripla que fornece o volume de , explicitando todos os limites de integração (em e se usar integral dupla ou em e se usar integral tripla).
Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é . Encontre: a) A massa do sólido. Resp: