Un cuerpo de masa 1.75 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 0.25
b) Encuentre la función velocidad.

Passo 1

Então, temos um corpo com massa de 1,75 kg que é solto do repouso. A resistência do ar é proporcional à velocidade, com uma constante de 0,25. Vamos resolver a parte b) do exercício, que pede para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando a segunda lei de Newton e resolvendo uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando no corpo. Quando o corpo é solto, ele está sujeito à força da gravidade, que puxa para baixo, e à resistência do ar, que atua na direção oposta ao movimento.
A força da gravidade ( ) é dada por:
onde:
  • (massa do corpo)
  • ² (aceleração da gravidade)
A força da resistência do ar ( ) é proporcional à velocidade ( ):
onde:
  • (constante de proporcionalidade)

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração ( ):
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relaç��o ao tempo ( ), podemos reescrever a equação:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 5

Calculamos o fator integrante ( ):
Substituindo os valores:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração.
A integral de é , então:

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial. Sabemos que o corpo é solto do repouso, ou seja, :

Passo 10

Substituímos de volta na equação da velocidade:
Substituindo ²:

Resposta

A função velocidade é:

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