Un cuerpo de masa 1.75 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 0.25
b) Encuentre la función velocidad.
b) Encuentre la función velocidad.
Passo 1
Então, temos um corpo com massa de 1,75 kg que é solto do repouso. A resistência do ar é proporcional à velocidade, com uma constante de 0,25. Vamos resolver a parte b) do exercício, que pede para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando a segunda lei de Newton e resolvendo uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando no corpo. Quando o corpo é solto, ele está sujeito à força da gravidade, que puxa para baixo, e à resistência do ar, que atua na direção oposta ao movimento.
A força da gravidade (
) é dada por:
onde:
-
(massa do corpo) -
(aceleração da gravidade)
A força da resistência do ar (
) é proporcional à velocidade (
):
onde:
-
(constante de proporcionalidade)
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração (
):
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relaç��o ao tempo (
), podemos reescrever a equação:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 5
Calculamos o fator integrante (
):
Substituindo os valores:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração.
A integral de
é
, então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial. Sabemos que o corpo é solto do repouso, ou seja,
:
Passo 10
Substituímos
de volta na equação da velocidade:
Substituindo
:
Resposta
A função velocidade é: