Un cuerpo de masa 1.75 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 0.25
b) Encuentre la función velocidad.
b) Encuentre la función velocidad.
Passo 1
Então, temos um corpo com massa de 1,75 kg que é solto do repouso. A resistência do ar é proporcional à velocidade, com uma constante de 0,25. Vamos resolver a parte b) do exercício, que pede para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, aplicando a segunda lei de Newton e resolvendo uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando no corpo. Quando o corpo é solto, ele está sujeito à força da gravidade, que puxa para baixo, e à resistência do ar, que atua na direção oposta ao movimento.
A força da gravidade (
) é dada por:
onde:
-
(massa do corpo) -
(aceleração da gravidade)
A força da resistência do ar (
) é proporcional à velocidade (
):
onde:
-
(constante de proporcionalidade)
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração (
):
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relaç��o ao tempo (
), podemos reescrever a equação:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 5
Calculamos o fator integrante (
):
Substituindo os valores:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração.
A integral de
é
, então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial. Sabemos que o corpo é solto do repouso, ou seja,
:
Passo 10
Substituímos
de volta na equação da velocidade:
Substituindo
:
Resposta
A função velocidade é:
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Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
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c) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar al suelo
c) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar al suelo
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b) Halle la posición a los 5 segundos.
b) Halle la posición a los 5 segundos.
En cierta población había 15000 habitantes en el año 2005. Si en el año 2020 se alcanzó una población de 26000 habitantes, estime la población que habrá en 2030 (suponiendo que las tasas de natalidad y mortalidad se mantienen constantes)