Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda quando você varia uma variável enquanto mantém a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis independentes:
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja, vamos derivar
em relação a
mantendo
constante, e depois em relação a
mantendo
constante.
Para a derivada parcial em relação a
:
Como
é constante em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Para a derivada parcial em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas que acabamos de encontrar.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Para
:
Usando a regra do produto:
Para
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Para
:
Usando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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