Un cuerpo de masa 3.5 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 1.45
b) Halle la posición a los 5 segundos.
b) Halle la posición a los 5 segundos.
Passo 1
Então, vamos por partes! O enunciado fala sobre um corpo com massa de 3,5 kg que é solto do repouso. A gente precisa considerar a resistência do ar, que é proporcional à velocidade, com uma constante de 1,45. O conteúdo que vamos usar aqui é de cinemática com resistência do ar. Para resolver, vamos precisar aplicar as leis do movimento e resolver uma equação diferencial que leva em conta a resistência proporcional à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que agem no corpo. Quando o corpo está caindo, ele sofre a força da gravidade para baixo, que é
, onde
kg e
m/s². Além disso, há a força de resistência do ar para cima, que é proporcional à velocidade:
, onde
s⁻¹ e
é a velocidade.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração. A aceleração aqui é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo:
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, usamos a condição inicial. Como o corpo parte do repouso, quando
,
:
Então,
. Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, para achar a posição, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Isso resulta em:
Como o corpo parte do repouso na posição zero, quando
,
, então
. Portanto:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores:
-
kg -
s⁻¹ -
m/s² -
s
Primeiro, calculamos
s⁻¹.
Agora, calculamos cada parte:
Calculando os valores numéricos:
Sabendo que
:
Resposta
A posição do corpo aos 5 segundos é aproximadamente 68,37 metros.