Un cuerpo de masa 3.5 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 1.45
b) Halle la posición a los 5 segundos.

Passo 1

Então, vamos por partes! O enunciado fala sobre um corpo com massa de 3,5 kg que é solto do repouso. A gente precisa considerar a resistência do ar, que é proporcional à velocidade, com uma constante de 1,45. O conteúdo que vamos usar aqui é de cinemática com resistência do ar. Para resolver, vamos precisar aplicar as leis do movimento e resolver uma equação diferencial que leva em conta a resistência proporcional à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que agem no corpo. Quando o corpo está caindo, ele sofre a força da gravidade para baixo, que é , onde kg e m/s². Além disso, há a força de resistência do ar para cima, que é proporcional à velocidade: , onde s⁻¹ e é a velocidade.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton, , onde é a aceleração. A aceleração aqui é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, temos:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante.

Passo 5

O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo:
A integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por :
Agora, usamos a condição inicial. Como o corpo parte do repouso, quando , :
Então, . Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, para achar a posição, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Isso resulta em:
Como o corpo parte do repouso na posição zero, quando , , então . Portanto:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores:
  • kg
  • s⁻¹
  • m/s²
  • s
Primeiro, calculamos s⁻¹.
Agora, calculamos cada parte:
Calculando os valores numéricos:
Sabendo que :

Resposta

A posição do corpo aos 5 segundos é aproximadamente 68,37 metros.

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