Un cuerpo de masa 3.5 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 1.45
b) Halle la posición a los 5 segundos.
b) Halle la posición a los 5 segundos.
Passo 1
Então, vamos por partes! O enunciado fala sobre um corpo com massa de 3,5 kg que é solto do repouso. A gente precisa considerar a resistência do ar, que é proporcional à velocidade, com uma constante de 1,45. O conteúdo que vamos usar aqui é de cinemática com resistência do ar. Para resolver, vamos precisar aplicar as leis do movimento e resolver uma equação diferencial que leva em conta a resistência proporcional à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que agem no corpo. Quando o corpo está caindo, ele sofre a força da gravidade para baixo, que é
, onde
kg e
m/s². Além disso, há a força de resistência do ar para cima, que é proporcional à velocidade:
, onde
s⁻¹ e
é a velocidade.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração. A aceleração aqui é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo:
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, usamos a condição inicial. Como o corpo parte do repouso, quando
,
:
Então,
. Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, para achar a posição, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Isso resulta em:
Como o corpo parte do repouso na posição zero, quando
,
, então
. Portanto:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores:
-
kg -
s⁻¹ -
m/s² -
s
Primeiro, calculamos
s⁻¹.
Agora, calculamos cada parte:
Calculando os valores numéricos:
Sabendo que
:
Resposta
A posição do corpo aos 5 segundos é aproximadamente 68,37 metros.
Exercícios relacionados
Un cuerpo de masa 1.75 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 0.25
b) Encuentre la función velocidad.
b) Encuentre la función velocidad.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
En cierta población había 15000 habitantes en el año 2005. Si en el año 2020 se alcanzó una población de 26000 habitantes, estime la población que habrá en 2030 (suponiendo que las tasas de natalidad y mortalidad se mantienen constantes)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
l)
l)