Un cuerpo de masa 3.5 kg se deja caer desde el reposo, asumiendo que hay una resistencia proporcional a la velocidad con constante de 1.45
a) Halle la velocidad a los 2 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um corpo de 3,5 kg que é deixado cair do repouso, e há uma resistência ao movimento que depende da velocidade, com uma constante de 1,45. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade desse corpo depois de 2 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica, especificamente a segunda lei de Newton e o modelo de resistência proporcional à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No nosso caso, a força que age no corpo é a força da gravidade menos a força de resistência do ar.

Passo 3

A força da gravidade ( ) é calculada por:
onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

A força de resistência do ar ( ) é proporcional à velocidade ( ), então:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar .

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial, a solução para a velocidade em função do tempo é:
Isso nos dá a velocidade do corpo a qualquer instante .

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores na fórmula para encontrar :

Passo 8

Calculando os valores:
Primeiro, calcule :
Depois, calcule o expoente:
Agora, calcule :
Finalmente:

Resposta

A velocidade do corpo após 2 segundos é aproximadamente 13,34 m/s.

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Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
b) f(x) = e^(2 x), n = 4;