Una población
crece en función del tiempo, medido en minutos, siguiendo la ley logística. Es conocido que la población inicial es de 40 individuos, que el máximo que puede soportar el medio es
individuos y que a los 90 minutos la población alcanzó 100 individuos. Se desea conocer la población al cabo de las 10 horas y cuanto tiempo tendrá que transcurrir para que se alcance la cuarta parte del número de individuos que forman la capacidad máxima.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma população
que cresce no tempo
, medido em minutos, seguindo a lei logística. Sabemos que a população inicial é de 40 indivíduos, a capacidade máxima do ambiente é
indivíduos, e aos 90 minutos a população atingiu 100 indivíduos. Nosso objetivo é descobrir qual será a população após 10 horas (600 minutos) e quanto tempo levará para que a população atinja um quarto da capacidade máxima, ou seja,
indivíduos. Para resolver isso, vamos usar a equação logística e seguir os passos necessários para encontrar os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da equação logística, que descreve o crescimento de uma população limitada pelo ambiente:
Onde:
-
é a população no tempo , -
é a capacidade máxima do ambiente, -
é a população inicial, -
é a taxa de crescimento, -
é o tempo.
Neste problema, já conhecemos
,
e
. Precisamos encontrar a taxa de crescimento
usando esses valores.
Passo 3
Vamos substituindo os valores conhecidos na equação logística para encontrar
. Quando
minutos,
:
Simplificando a fração dentro da equação:
Portanto, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar o termo com
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 1999:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos a taxa de crescimento
, vamos encontrar a população após 10 horas, ou seja, 600 minutos:
Calculando o expoente:
Calculando
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, vamos determinar quanto tempo levará para a população atingir
da capacidade máxima, ou seja,
indivíduos:
Isolando o termo com
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 1999:
Aplicando o logaritmo natural:
Isolando
:
Resposta
Após 10 horas, a população será aproximadamente 14.825 indivíduos. Para que a população atinja um quarto da capacidade máxima (
indivíduos), será necessário que passem cerca de 637 minutos.
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