Derive cada uma das funções dadas abaixo:
l) f(x) = (x^2 * sen(x)) / cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso tá no assunto de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra do quociente e do produto para derivar funções que são frações e produtos.

Passo 2

Pra começar, vamos identificar qual regra de derivação a gente vai usar. Aqui temos uma divisão de duas funções: o numerador e o denominador . Então, vamos usar a regra do quociente.

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é . Ou seja, a gente precisa derivar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar . Aqui temos um produto de duas funções, então usamos a regra do produto: .

Passo 5

Calculando as derivadas individuais:

  • Então, .

Passo 6

Agora, vamos derivar . A derivada de é .

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
Perceba que , já que .

Passo 9

Substituindo de volta, temos:

Passo 10

Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A derivada de é:

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